5. Optische Abbildungen mit Linsen

5.1 Optische Linsen

Optische Linsen sind durchsichtige Körper, deren Oberflächen wie Kugelabschnitte geformt sind (sphärische Linsen). Der Kugelradius heißt auch Krümmungsradius.
Der Schnittpunkt von Mittelebene und optischer Achse ist der optische Mittelpunkt der Linse.

Je nach Form der Linsenhälften unterscheidet man folgende Typen.
 

Sammellinsen
Zerstreuungslinsen

2. Bei der Reflexion und bei der Brechung wurden bisher nur ebene Flächen betrachtet: ebene Spiegel und ebene Trennflächen zwischen zwei Medien. Aber auch bei gekrümmten Flächen lassen sich Reflexions- und Brechungsgesetz anwenden. Eine gekrümmte Fläche kann man sich aus vielen, sehr kleinen ebenen Flächenstücken zusammengesetzt denken. Allerdings hat dann das Einfallslot auf jedem Flächenstück eine andere Richtung.


Praktikumsversuche: Beeinflussung von Lichtbündeln durch Bikonvexlinsen

1. Auf einem Holzbrettchen sind mehrere kleine Glaskugeln in Form einer 1 angeordnet („Perl- Eins“). Decken Sie alle Glaskugeln bis auf eine mit einer Lochblende ab. Befestigen Sie die Perl- Eins und die Lochblende auf einem Klemmhalter und stellen Sie diesen vor eine Leuchte. Auf diese Weise haben Sie näherungsweise eine Punktlichtquelle aufgebaut.

2. Wählen Sie zunächst eine Bikonvexlinse mit der Aufschrift „15“.

    Stellen Sie die Linse in der Entfernung g = 5 cm (Gegenstandsweite) vor der Punktlichtquelle auf.

    Tasten Sie das Lichtbündel vor der Linse und hinter der Linse mit dem Schirm ab.

    Skizzieren Sie die Form der Lichtbündel.
 

3. Stellen Sie für die Linse „15“ nacheinander die Gegenstandsweiten

g = 10 cm ; 15 cm ; 20 cm ; 25 cm ; 30 cm ; 40 cm ; 50 cm

    ein. Tasten Sie wieder die Lichtbündel ab und skizzieren Sie deren Form.
 

4. Für welche Gegenstandsweiten besitzt das Lichtbündel hinter der Linse besondere Eigenschaften?
 

5. Tauschen Sie die Linse „15“ gegen eine Bikonvexlinse mit der Aufschrift „25“ aus.

    Wählen Sie selbst Werte für die Gegenstandsweite und tasten Sie wieder die Lichtbündel vor und hinter der Linse ab.

    Vergleichen Sie mit Ihren Befunden für die Linse „15“.


5.2 Brechung an einer Sammellinse

Versuche

Mit einer Experimentierleuchte und einer Linse wird ein Parallel-Lichtbündel erzeugt.

Aus diesem Lichtbündel werden mit einer Spaltblende drei dünne, parallele Teilbündel erzeugt.

Die drei parallelen Bündel fallen auf eine Sammellinse (Bikonvexlinse):

a) parallel zur optischen Achse,

b) unter beliebigen Richtungen zur optischen Achse.

Zu beobachten ist, dass ein Parallel-Lichtbündel (im Versuch dargestellt durch die drei Teilbündel) durch eine Sammellinse (Bikonvexlinse) immer zu einem konvergenten Lichtbündel umgeformt wird, das in einem Punkt zusammenläuft.

Dies lässt sich mit der Brechung des Lichtes an der Eintritts- und der Austrittsfläche der Sammellinse erklären.

Jeder Randstrahl eines Parallel-Lichtbündels wird durch die Brechung zweimal im gleichen Sinne abgelenkt; die Ablenkung aus der ursprünglichen Richtung wird durch die zweite Brechung noch größer. Hinter der Linse laufen die Randstrahlen in einem Punkt zusammen.

Der Strahl des Lichtbündels, der durch den Mittelpunkt M der Linse verläuft, heißt Mittelpunktstrahl. Seine Richtung ändert sich nicht, da er bei beiden Brechungen jeweils gleich stark in entgegengesetzte Richtungen abgelenkt wird. Der Mittelpunktstrahl wird nur etwas parallel verschoben. Bei dünnen Linsen ist diese Verschiebung kaum zu bemerken, so dass der Mittelpunktstrahl geradlinig durch die Linsenmitte gezeichnet werden kann.
 
Parallelbündel, die aus unterschiedlichen Richtungen auf eine Sammellinse treffen, laufen in verschiedenen Punkten hinter der Linse zusammen. All diese Punkte liegen in einer Ebene. Sie heißt Brennebene und ist parallel zur Mittelebene der Linse. Ihr Abstand von der Linsenmitte heißt Brennweite f.
Der Schnittpunkt der Brennebene mit der optischen Achse heißt Brennpunkt F1. Durch ihn laufen alle Lichtstrahlen, die parallel zur optischen Achse auf die Linse treffen.

Dreht man die Linse um, so findet man im gleichen Abstand vom Linsenmittelpunkt wiederum Brennebene und Brennpunkt. Die Brechung ist nämlich unabhängig davon, von welcher Seite das Licht einfällt.


Praktikumsversuche: Die Bilder einer Sammellinse

Mit einer Sammellinse sollen Bilder von einem Gegenstand auf einem Schirm erzeugt werden. Als Gegenstand wird die „Perl-Eins“ verwendet.

Aufbau:

Bezeichnungen:
G: Gegenstandsgröße B: Bildgröße
g: Gegenstandsweite b: Bildweite

Bestimmen Sie zunächst die Gegenstandsgröße:

G= __________

Wählen Sie zuerst eine Linse mit der Brennweite f = 15 cm.

a) * Stellen Sie jeweils die angegebene Gegenstandsweite ein.
    * Verschieben Sie den Schirm, bis Sie ein scharfes Bild des Gegenstandes sehen. 
       Für wie groß halten Sie die Unsicherheit für b bei dieser Einstellung des Schirms?

    * Messen Sie dann jeweils Bildweite b und Bildgröße B.
    * Berechnen Sie jeweils die Quotienten .
 
g/cm
b/cm
B/cm
b/g
B/G
50
       
40
       
30
       
25
       
20
       

Wie ändern sich die Bildweite b und die Bildgröße B, wenn die Gegenstandsweite kleiner wird?

b) Bei welcher Gegenstandsweite ist das Bild genauso groß wie der Gegenstand selbst?
Wie groß ist dann die Bildweite?

c) Was stellen Sie fest, wenn Sie Gegenstandsweiten einstellen, die kleiner als die Brennweite f sind?

d) Tauschen Sie die Linse der Brennweite f = 15 cm gegen ine Linse mit der Brennweite f = 25 cm aus. Wählen Sie selbst einige sinnvolle Gegenstandsweiten g und führen Sie Messungen und Rechnungen wie in Teil a), b) und c) aus.


5.3 Bilder mit Sammellinsen

Die Abbildung zeigt, wie Sammellinsen Bilder von Gegenständen erzeugen: Von jedem Gegenstandspunkt trifft ein divergierendes Lichtbündel auf die Linse. Es wird an den beiden Linsenflächen so gebrochen, dass es in einem Punkt zusammenläuft. Zu jedem Punkt des Gegenstandes entsteht auf diese Weise ein Bildpunkt. Das gesamte Bild kann man sich aus sehr vielen einzelnen Bildpunkten zusammengesetzt denken.
Der Abstand eines Gegenstandspunktes von der Mittelebene der Linse heißt Gegenstandsweiteg. Den Abstand eines Bildpunktes von der Mittelebene nennt man Bildweiteb.

Alle Bildpunkte, die von einem Gegenstand in der Gegenstandsweite g entstehen, liegen in einer Ebene, der Bildebene. Hinter der Bildebene laufen die Lichtbündel wieder auseinander.

Bilder, deren Punkte Schnittpunkte von Lichtbündeln sind, heißen reelle Bilder. Von den Bildpunkten gehen nämlich reelle (wirkliche) Lichtbündel aus. Ein Schirm, den man in die Bildebene hält, streut das Licht. Deshalb kann das Bild auf dem Schirm aus allen Richtungen betrachtet werden. Ohne Schirm ist das Bild nur zu sehen, wenn man in Richtung des Gegenstandes auf die Linse blickt.


 

Wenn der Gegenstand genau in der Brennebene liegt (g = f), dann werden keine Bildpunkte erhalten. Die von den Gegenstandspunkten ausgehenden Bündel werden von der Linse nicht mehr zu konvergenten Lichtbündeln zusammengefasst, sondern verlassen die Linse als Parallelbündel.

Befindet sich der Gegenstand zwischen Brennebene und Linse (g < f), so laufen die Lichtbündel auch noch hinter der Linse auseinander, so dass keine Bildpunkte entstehen.

 

Fällt ein solches Lichtbündel ins Auge, so verlegt unser Gehirn den Ausgangspunkt des Lichtes in den Punkt, in dem sich die rückwärtig verlängerten Randstrahlen schneiden. In Wirklichkeit geht von diesem Punkt kein Licht aus. Man sieht daher ein virtuelles Bild; es ist vergrößert und aufrecht.


Übungen

Test: Bilder mit Sammellinsen


5.4 Geometrische Bildkonstruktion mit besonderen Strahlen

Häufig interessiert man sich bei der Konstruktion von Bildpunkten, die von einer Sammellinse erzeugt werden, nur für die Lage der Bildpunkte, und nicht für die Lichtbündel, durch die sie erzeugt werden. Wenn außerdem noch eine dünne Linse vorliegt, dann kann ein einfaches Verfahren benutzt werden. Dieses Verfahren beruht auf drei Gesetzmäßigkeiten:
  1. Lichtstrahlen, die parallel zur optischen Achse auf die Linse treffen (Parallelstrahlen), verlaufen nach der Linse durch den Brennpunkt.
  2. Lichtstrahlen, die vor der Linse durch den Brennpunkt gehen, (Brennstrahlen), verlassen die Linse parallel zur optischen Achse.
  3. Der Mittelpunktstrahl verläuft geradlinig durch die Linse.
Mit Hilfe dieser besonderen Strahlen kann man Bildpunkte konstruieren. Für einen Bildpunkt genügen sogar zwei Strahlen. Die dünne Linse wird dabei einfach durch ihre Mittelebene ersetzt.

Für die Konstruktion ist es dabei unwichtig, ob in Wirklichkeit z.B. ein Parallelstrahl in dem Lichtbündel enthalten ist, das auf die Linse trifft. (Bei der Abbildung eines Baumes müsste die Linse ja so groß wie der Baum sein.) Es genügt zu wissen, dass die Strahlen so verlaufen würden, wenn es sie gäbe.

Auch virtuelle Bilder können auf diese Weise konstruiert werden. Es müssen lediglich die Strahlen hinter der Linse rückwärtig verlängert werden; ihr Schnittpunkt gibt dann einen virtuellen Bildpunkt an.


Übungen

1. Eine 1m lange Leuchtstoffröhre wird mit einer Sammellinse abgebildet (f = 30 cm; g = 50 cm).. Ermitteln Sie durch Konstruktion mit besonderen Strahlen Lage und Größe des Bildes.

2. Konstruieren Sie mit Hilfe von besonderen Strahlen das virtuelle Bild eines Gegenstandes, das man durch eine Sammellinse sieht (f = 10 cm). Die Gegenstandsweite beträgt 4 cm.


5.5 Abbildungsgesetze

Ausgehend von der Konstruktion mit besonderen Strahlen lassen sich die Gesetze für die Abbildung mit dünnen Linsen mathematisch herleiten. Dazu genügt eine einfache geometrische Überlegung:
 
Ein beliebiges Rechteck ABCD wird durch eine Diagonale in zwei deckungsgleiche (kongruente) Dreiecke ABD und CDB geteilt
Durch einen beliebigen Punkt der Diagonale sind Parallelen zu den Rechteckseiten gezeichnet. So entstehen in den Dreiecken ABD und CDB zwei Paare von Dreiecken (blaue Flächen), die wiederum deckungsgleich und damit gleich groß sind. Daher müssen auch die beiden roten Rechtecke den gleichen Flächeninhalt haben.

Dieser Sachverhalt wird auf eine Abbildungskonstruktion angewendet.
 
Die Flächeninhalte der roten Rechtecke sind gleich:

.

Daraus ergibt sich für den Abbildungsmaßstab  die Abbildungsgleichung:

Auch hier sind die Flächeninhalte der roten Rechtecke gleich:

.

Umgeformt:

Mit Hilfe der Abbildungsgleichung kann für die letzte Beziehung auch geschrieben werden:

.

Multiplizieren mit den Nennern ergibt

.

Ausmultipliziert:

.

Wird nun durch das Produkt bfg dividiert, so erhält man

.

Daraus ergibt sich die Linsengleichung für dünne Linsen:

.

Anwendungsbeispiel für die Linsengleichung:

Mit einer Linse (f = 30 cm) soll eine Kerze abgebildet werden (g = 2 m; G = 15 cm). In welchem Abstand b hinter der Linse (Bildseite) muss der Schirm aufgestellt werden? Wie groß wird das Bild der Kerze?

Da f und g gegeben sind, wird die Linsengleichung nach b umgestellt:

Einsetzen der gegebenen Werte:

Der Schirm muss 35,3 cm hinter der Linse stehen.

Mit der Abbildungsgleichung ergibt sich die Bildgröße:

Einsetzen der Werte:

Das Bild der Kerze ist ungefähr 2,6 cm groß.


Übungen

1. Bei einer dünnen Linse mit der Brennweite f = 20 cm beträgt die Bildweite eines Gegenstandes b = 36 cm. In welcher Entfernung steht der Gegenstand vor der Linse? Wie groß ist der Abbildungsmaßstab?

2. Bei der Abbildung mit einer dünnen Sammellinse wurde gemessen: b = 90 cm und g = 45 cm. Berechnen Sie die Brennweite f der Linse.

3. Wie groß ist die Bildweite, wenn die Gegenstandsweite gleich der doppelten Brennweite ist (g = 2 f )?

4. Eine Kerze soll in einer Bildweite von b = 1,50 m auf einen Schirm abgebildet werden. Es stehen dünne Sammellinsen mit den Brennweiten 15 cm, 25 cm und 30 cm zur Verfügung. Welche Gegenstandsweiten g muss man jeweils für die Linsen wählen?

5. Eine 3 cm hohe Kerzenflamme wird mit einer dünnen Sammellinse (f = 5 cm) im Maßstab A = 1:2 abgebildet. Berechnen Sie B, b und g.
Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse mit Hilfe einer maßstabsgerechten Zeichnung.

6. Ein Gegenstand der Größe 3 cm befindet sich im Abstand 2 cm vor einer dünnen Sammellinse mit der Brennweite f = 5 cm. Berechnen Sie mit Hilfe der Linsengleichung die Bildweite des virtuellen Bildes. Was stellen Sie fest?
Konstruieren Sie das Bild auch zeichnerisch.

7. Eine Kinoleinwand ist 14 m breit. Die einzelnen Bilder auf dem Film haben eine Breite von 32 mm.
a) Berechnen Sie den Abbildungsmaßstab.
b) Die Bildweite beträgt 28 m. Wie groß ist die Gegenstandsweite im Projektor?
c) Welche Brennweite wird der Projektor wohl haben?