4. Brechung

4.1 Brechung des Lichtes an Grenzflächen

Versuche

1. Füllen Sie eine Schale mit Wasser.

a) Stellen Sie ein Lineal (oder einen Bleistift) senkrecht ins Wasser und betrachten Sie es zunächst von oben her. Schauen Sie dann schräg und schließlich fast parallel zur Wasseroberfläche auf das Lineal. Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen.

    Bild 1    Bild 2

b) Halten Sie das Lineal (bzw. den Bleistift) nun schräg ins Wasser und betrachten Sie es wie in Teil a). Was fällt Ihnen auf?

    Bild 3

2. Legen Sie eine Münze auf den Boden einer Tasse. Blicken Sie so über den Rand in die Tasse, dass Sie die Münze gerade nicht sehen können. Füllen Sie dann Wasser in die Tasse. Was ist zu beobachten?

    Bild 4

3. a) Vor eine Experimentierleuchte wird eine Schlitzblende gesetzt und so ein schmales Lichtbündel erzeugt. Dieses Lichtbündel fällt schräg in eine mit Wasser gefüllte Glaswanne. Das Lichtbündel streift dabei an einer weiß gefärbten Metallplatte entlang und wird so sichtbar gemacht.

b) Um den Übergang des Lichtes von Wasser in Luft zu untersuchen, wird eine mehrfach geschlitzte Blende und eine Lichtquelle unter Wasser in einer Glaswanne angebracht.

Beschreiben Sie das Verhalten der Lichtbündel in beiden Anordnungen.

4. Auf einer optischen Scheibe wird ein Halbzylinder aus Plexiglas angebracht und mit einem dünnen Parallel-Lichtbündel beleuchtet. Wie verhält sich das Lichtbündel beim Eintritt bzw. beim Austritt aus dem Halbzylinder?

Wenn ein Lichtbündel schräg auf die Grenzfläche von zwei Medien trifft (z.B. Luft/Wasser, Luft/Glas oder umgekehrt), ändert es seine Richtung. Man sagt, das Licht wird an der Grenzfläche der beiden Stoffe gebrochen.

Bei der Brechung liegen die Richtungsstrahlen des einfallenden und des gebrochenen Lichtbündels sowie das Einfallslot in einer Ebene. Als Einfallswinkel wird der Winkel bezeichnet, der von dem einfallenden Strahl und dem Einfallslot gebildet wird. Der Winkel zwischen dem gebrochenen Strahl und dem Einfallslot heißt Brechungswinkel.

Beobachtungen:
 

 
  • Fällt das Lichtbündel senkrecht auf die Grenzfläche (), so ändert sich seine Richtung nicht; das Licht läuft ungebrochen weiter.

 
  • Tritt das Lichtbündel von Luft in Glas (oder von Luft in Wasser) über, ist der Brechungswinkel stets kleiner als der Einfallswinkel.
    Das Licht wird zum Einfallslot hin gebrochen.

 
  • Tritt das Lichtbündel von Glas in Luft (oder von Wasser in Luft) über, ist der Brechungswinkel stets größer als der Einfallswinkel.
    Das Licht wird vom Einfallslot weg gebrochen.

Wenn das Licht nicht senkrecht auf die Grenzfläche zweier Medien auftrifft, sind Einfallswinkel und Brechungswinkel unterschiedlich groß. Man nennt Wasser und Glas sind also optisch dichter als Luft.


Gegenstände, die sich ganz oder teilweise unter Wasser befinden, können geknickt, verkürzt oder angehoben erscheinen, wenn sie aus Luft heraus betrachtet werden. Die Ursache für diese „Trugbilder“ ist die Brechung des Lichts.

Die folgende Abbildung zeigt ein Lichtbündel, das von einer Münze unter Wasser ausgeht und in das Auge eines Betrachters fällt.

Wenn das Lichtbündel schräg auf die Wasseroberfläche fällt, wird es an der Grenzfläche Wasser – Luft gebrochen. Das Gehirn geht aber aufgrund der Erfahrung davon aus, dass sich das Licht geradlinig ausbreitet. Es „verlegt“ deshalb den Ausgangspunkt des Lichtbündels an eine andere Stelle; der Gegenstand wird dort wahrgenommen, wo sich die rückwärts verlängerten Randstrahlen des gebrochenen Lichtbündels schneiden.

Schaut man flacher auf die Wasseroberfläche, scheint der Gegenstand höher zu liegen. Der Grund dafür ist, dass das ins Auge fallende Lichtbündel jetzt stärker aus seiner ursprünglichen Richtung abgelenkt wird.

Wird ein Stab (oder Lineal) senkrecht ins Wasser getaucht, erscheint er verkürzt. Ein schräg ins Wasser gehaltener Stab, der teilweise aus dem Wasser herausragt, scheint geknickt zu sein. Der Grund ist in beiden Fällen der gleiche: Jeder Punkt des Gegenstandes unterhalb der Wasseroberfläche erscheint einem Betrachter außerhalb des Wassers angehoben.


Praktikumsversuche: Brechung des Lichtes

Vorbereitung

Bauen Sie am linken Ende einer optischen Bank eine Leuchte und am rechten Ende eine optische Scheibe auf. Stellen Sie vor die Leuchte eine Linse mit der Aufschrift „15“ und eine Spaltblende. Verschieben Sie Linse und Spalt, bis auf der optischen Scheibe ein dünnes, scharfes Parallel-Lichtbündel sichtbar wird.

Versuch 1

Legen Sie ein Blatt Papier und einen Plexiglasquader auf die optische Scheibe.

Zeichnen Sie für zwei verschiedene Einstellungen jeweils den Umriss des Quaders und die Lichtbündel ab.

Wie stehen das einfallende Lichtbündel und das aus dem Quader austretende Lichtbündel zueinander? Können Sie eine Begründung dafür geben?

Versuch 2

Verfahren Sie wie in Versuch 1 mit einem Prisma.

Wie kommt es, dass das einfallende Lichtbündel besonders stark aus seiner Richtung abgelenkt wird?


4.2 Zusammenhang zwischen Einfallswinkel und Brechungswinkel

Es soll für Plexiglas der Zusammenhang zwischen Einfallswinkel  und Brechungswinkel  ermittelt werden.


Praktikumsversuche: Einfallswinkel und Brechungswinkel

Vorbereitung

wie im vorigen Versuch zur Brechung des Lichtes

Versuch 1

Legen Sie einen Halbzylinder aus Plexiglas wie in der Zeichnung auf die optische Scheibe.

Warum wird das aus dem Glas austretende Lichtbündel nicht noch einmal gebrochen?

Verändern Sie den Einfallswinkel  und messen Sie jeweils den zugehörigen Brechungswinkel .
 
 
10°
 
20°
 
30°
 
40°
 
50°
 
60°
 
70°
 
80°
 
85°
 

Stellen Sie den Verlauf des Brechungswinkels  in Abhängigkeit vom Einfallswinkel  auch in einem Diagramm dar. (Rechtsachse: Einfallswinkel; Hochachse: Brechungswinkel)

Versuch 2

Drehen Sie den Halbzylinder um. Verändern Sie wieder den Einfallswinkel und messen Sie jeweils den zugehörigen Brechungswinkel .Was fällt dabei auf?
 
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   


In der folgendenden Abbildung ist der Brechungswinkel  in Abhängigkeit vom Einfallswinkel  aufgetragen für die Übergänge des Lichts von Luft in Wasser, von Luft in Glas und von Luft in Diamant.

Es ist deutlich zu erkennen, dass der Zusammenhang nicht proportional ist. Bei kleinen Einfallswinkeln nimmt der Brechungswinkel zwar fast linear mit dem Einfallswinkel zu, bei größeren Einfallswinkeln nimmt der Brechungswinkel aber immer weniger rasch zu.

Weiter ist zu erkennen, dass Glas das Licht stärker bricht als das Wasser. Bei gleichem Einfallswinkel ist der Brechungswinkel beim Übergang Luft – Glas kleiner als beim Übergang Luft – Wasser. Damit ist dann die Ablenkung aus der ursprünglichen Richtung größer.

Für den dargestellten Fall, dass Licht von einem optisch dünneren in ein optisch dichteres Medium übergeht (z.B. von Luft in Wasser) ist weiter festzustellen: Wird der Einfallswinkel vergrößert, so wächst auch der Brechungswinkel. Der größte Wert für  ist 90°, dann fällt das Licht streifend auf die Grenzfläche. Dem Diagramm ist zu entnehmen, dass auch der Brechungswinkel  sich dann einem Höchstwert nähert, den er nicht überschreiten kann. Dieser Höchstwert für den Brechungswinkel hängt von den aneinander grenzenden Medien ab. Er wird als Grenzwinkel bezeichnet.
 

Übergang des Lichtes von Luft in ... Grenzwinkel 
Wasser
49°
Spiritus
47°
Plexiglas
42°
Glas
41°
Diamant
24°

Fällt ein Lichtbündel auf die Grenzfläche zweier lichtdurchlässiger Medien, wird nie alles Licht gebrochen; es wird auch stets Licht reflektiert. Das Lichtbündel wird also in ein gebrochenes und ein reflektiertes Lichtbündel aufgespalten.

Beim Übergang von einem optisch dünneren in ein optisch dichteres Medium (z.B. von Luft in Wasser) findet auch dann noch eine Brechung statt, wenn das Licht nahezu an der Grenzfläche entlangstreift. Der Brechungswinkel ist dann praktisch gleich dem Grenzwinkel. Allerdings dringt nur wenig Licht in den optisch dichteren Stoff ein; fast alles Licht wird reflektiert.

Beim Übergang von einem optisch dichteren in ein optisch dünneres Medium (z.B. von Wasser in Luft) zeigt sich ein anderes Verhalten. Vergrößert man den Einfallswinkel, so wird auch hier ein zunehmender Teil des Lichts reflektiert; der übrige Teil des Lichts, der durch die Grenzfläche dringt, nimmt dementsprechend ab. Wenn der Einfallswinkel aber größer als der Grenzwinkel  wird, kann das Licht die Grenzfläche nicht mehr durchdringen; es wird vollständig reflektiert. Man spricht von Totalreflexion.

Totalreflexion tritt immer dann auf, wenn Licht von einem optisch dichteren Medium auf die Grenzfläche zu einem optisch dünneren Medium fällt und wenn dabei der Einfallwinkel größer als der Grenzwinkel ist: . Der Winkel  heißt daher auch Grenzwinkel der Totalreflexion. Er beträgt z.B. für den Übergang Wasser – Luft 49° und für den Übergang Glas – Luft 41°.

Das folgende Bild zeigt ein Lineal, das hinter ein mit Wasser gefülltes zylindrisches Glas gehalten wurde. Es wird so betrachtet, dass die Wasseroberfläche von unten gesehen wird. Die Grenzschicht Wasser – Luft wirkt wie ein Spiegel.

Außerdem erscheint das durch das Glas betrachtete Lineal vergrößert. Warum?


Übungen

1. Ein dünnes Parallel-Lichtbündel trifft auf eine 1 cm dicke, planparallele Plexiglasplatte. Zeichnen Sie den Verlauf der Richtungsstrahlen für die Einfallswinkel . Berücksichtigen Sie dabei die Brechung an beiden Grenzflächen.

2. Der Querschnitt eines Plexiglas-Prismas ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 10 cm. Zeichnen Sie den Querschnitt. Lassen Sie dann ein dünnes Lichtbündel parallel zur Grundseite auf eine Seite des Prismas fallen und konstruieren Sie den Verlauf des Lichtes im Prisma und nach dem Prisma.

3. Ein Lichtstrahl, der von Luft in Wasser übergeht, wird zum Einfallslot hin gebrochen. Eine schräg ins Wasser gehaltene Stricknadel scheint geknickt zu sein; sie wird unter Wasser scheinbar vom Einfallslot weg gebrochen. Erläutern Sie diese Beobachtung.

4. Ein Springbrunnen wird von unten beleuchtet. Warum leuchten die gebogenen Wasserstrahlen?

5. Die Abbildung zeigt verschiedene Glasprismen. Zeichnen Sie ab und ergänzen Sie die Lichtwege.


4.3 Die Brechzahl

Bei der Brechung können statt der Winkel auch die Längen zweier Strecken s1 und s2 gemessen werden.

Verwenden Sie Ihre Messwerte aus dem vorigen Praktikumsversuch, um s1 und s2 für folgende Einfallwinkel zu bestimmen. Wählen Sie einen Kreisradius r = 5 cm.
 

s1 / cm
s1 / cm
s1 / s2
20°
       
40°
       
60°
       
80°
       

Im Rahmen der Mess- und Zeichengenauigkeit ergibt sich:

Der Quotient s1 / s2 ist konstant.

Dies gilt so wie hier für Luft – Plexiglas für jede Stoffkombination. Die Konstante heißt Brechzahl und wird mit n bezeichnet:

.


Übergang des Lichtes von Luft in ... Brechzahl 
n
Wasser
1,33
Spiritus
1,36
Plexiglas
1,5
Glas
1,53
Diamant
2,42

Der Radius des Kreises um den Auftreffpunkt des Lichtbündels spielt bei dieser Art der Bestimmung der Brechzahl keine Rolle. Dies lässt sich wie folgt einsehen: Bei einer Vergrößerung oder Verkleinerung der Zeichnung werden alle vorkommenden Strecken um den gleichen Faktor k vergrößert oder verkleinert: . Daher ist

.

Um den Lichtweg bei der Brechung zu konstruieren, kann unter Verwendung der Brechzahl wie folgt vorgegangen werden:


Übungen

1. Konstruieren Sie auf die beschriebene Weise den Lichtweg für den Übergang von Luft in Plexiglas für den Einfallswinkel .

2. Die Brechzahl für den Übergang von Wasser in Glas ist 1,15. Zeichnen Sie die Lichtwege beim Übergang von Luft in Glas bzw. von Wasser in Glas für den Einfallswinkel .

3. Konstruieren Sie den Lichtweg für den Übergang von Plexiglas in Luft für den Einfallswinkel .


Ergänzung: Das Brechungsgesetz

In einem rechtwinkligen Dreieck sind folgende Bezeichnungen gebräuchlich:

Bei festen Winkeln a und b gilt unabhängig von der Größe des Dreiecks:

 (1) Das Verhältnishat für einen festen Winkel stets den gleichen Wert.
 (2) Das Verhältnishat für einen festen Winkel stets den gleichen Wert.

 Jedem Winkel zwischen 0° und 90° wird unabhängig von der Größe des rechtwinkligen Dreiecks durch eines dieser Verhältnisse jeweils genau eine reelle Zahl zugeordnet. Diese Zuordnungen heißen Winkelfunktionen (oder trigonometrische Funktionen) und werden wie folgt bezeichnet (G: Gegenkathete, A: Ankathete, H: Hypotenuse):

Sinus von a: Sinus von b:
Kosinus von a: Kosinus von b:

Es ergeben sich die folgenden Graphen der Winkelfunktionen:
 

Hier ist der Sinus von besonderem Interesse. In der Zeichnung, die oben zur Einführung der Brechzahl benutzt wurde, finden sich zwei rechtwinklige Dreiecke:
 

Aus den Dreiecken ist abzulesen:

.

Daraus ergibt sich

.

Das Verhältnis der Sinuswerte von Einfallswinkel und Brechungswinkel ist also gleich der Brechzahl:

.

Dies wird als Brechungsgesetz bezeichnet. Umformungen:

.

Ist der Sinuswert eines Winkels gegeben und der zugehörige Winkel gesucht, wird die Umkehrung der Sinusfunktion benötigt. Sie heißt „Arkussinus“:

.

(Auf dem Taschenrechner findet sich diese Umkehrung des Sinus unter der Bezeichnung , was nicht mit dem Kehrwert verwechselt werden darf.)

Um den Lichtweg bei der Brechung zu konstruieren, kann unter Verwendung des Brechungsgesetzes wie folgt vorgegangen werden:

Rechenbeispiel:

Ein Lichtbündel tritt von Luft in Glas über (Brechzahl: n = 1,53), der Einfallswinkel ist . Der Brechungswinkel ist dann

.