2.2 Kraft und Verformung

Federkonstante

Bei der Messung der Federausdehnung im Abschnitt 2.1 wurden Wägestücke der Masse 50 g verwendet. Wie groß ist die Gewichtskraft, die auf sie wirkt? Im Abschnitt 2.1 (Kraftmessung) wurde der Zusammenhang zwischen Masse und Gewichtskraft entwickelt:

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Mit den Messwerten aus 2.1 kann nun der Zusammenhang zwischen Kraft und Ausdehnung angegeben werden.

Der Quotient aus Kraft und Ausdehnung ist jeweils konstant:

Er wird als Federkonstante D bezeichnet. Diese Größe gibt an, welche Kraft die betreffende Feder um 1 cm ausdehnt. Bei der Feder 2 ist die Federkonstante größer als bei der Feder 1:

Die Feder 2 bezeichnet man als „härter“, bzw. die Feder 1 als „weicher“.

Je größer die Federkonstante D ist, umso größer muss die Kraft sein, um dieselbe Ausdehnung zu erhalten. Die Beziehung

wird als Hooke'sches Gesetz bezeichnet (nach Robert Hooke, 1635-1703). Beispiele dazu:

1. Die Stoßdämpferfeder eines PKW hat eine Federkonstante von 24 N/mm. Sie soll um 1,2 cm auseinandergezogen werden. Welche Kraft wird dazu benötigt?

2. Die Feder eines Kugelschreibers hat eine Federkonstante von 2 N/cm. Wie groß ist die Verlängerung, wenn eine Kraft von 5 N wirkt?

3. Bei einer Feder bewirkt eine Kraft von 18 N eine Verlängerung von 7,2 cm. Wie groß ist die Federkonstante?

Übungen:

1. Eine Schraubenfeder wird durch ein angehängtes Wägestück (FG = 2 N) um genau 3 cm verlängert. Wie groß ist die Verlängerung der Schraubenfeder, wenn die Kraft 1 N (bzw. 4 N) beträgt?

2. (Diese Aufgabe hat nichts mit Federn zu tun.) Drei verschieden dicke Nägel sollen mit einem Hammer in ein Brett geschlagen werden. Damit immer dieselbe Kraft auf einen Nagel wirkt, wird der Hammer mit einem Motor angetrieben.

a) Was erwarten Sie?

b) Wie würden Sie in diesem Zusammenhang den Begriff „Druck“ verstehen?

Bemerkungen zu 2

Vertiefung: Elastische Eigenschaften fester Körper

Ein fester Körper heißt elastisch, wenn die Verformung zurückgeht, sobald die verformenden Kräfte nicht mehr wirken. Diese Eigenschaft behalten elastische Körper jedoch nur bis zu maximalen Verformung, der Elastizitätsgrenze. Oberhalb dieser Elastizitätsgrenze wird jeder Körper plastisch, d.h. die Verformung bleibt erhalten, auch wenn die verformenden Kräfte nicht mehr wirksam sind.
Eine Kraft, die senkrecht zur Oberfläche an einem Körper angreift, wird Normalkraft Fn genannt; eine Kraft, die tangential zur Körperoberfläche angreift, heißt Tangentialkraft Ft. In der Technik bezieht man diese Kräfte auf die Flächen A , an denen sie angreifen und arbeitet mit den Größen
 

Die Maßeinheiten dieser Größen sind:

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Eine veraltete Einheit ist das bar:

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Beispiel: Eine Person mit 75 kg Masse, die mit beiden Füßen fest auf dem Boden steht, übt eine Druckkraft auf den Boden aus. Diese ergibt sich aus

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Die Fläche, auf die diese Kraft als Druckkraft wirkt, ist die Fläche der beiden Schuhsohlen. Diese soll hier mit je einem Rechteck von 30 cm Länge und 10 cm Breite abgeschätzt werden, also:

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Für die Normalspannung (Druckspannung) ergibt sich nun:

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Übung:

a) Schätzen Sie die Auflagefläche von Schlittschuhen ab und wiederholen Sie die obige Beispielrechnung für diese Fläche.

b) Schätzen Sie die Auflagefläche der Reifen eines PKW ab. Berechnen Sie die Druckspannung unter Verwendung einer Masse von 1 t.

Im Folgenden soll ein zylindrischer Stab betrachtet werden. Unter Zug oder Druck ändern sich seine Länge und sein Querschnitt.
 

Bezeichnungen:

l: Ausgangslänge des Stabes

d = 2 r : Ausgangsdurchmesser des Stabes, Radius r

Dl: Längenänderung bei Zug- oder Druckbelastung;

      Zug: Dl > 0 (Dehnung)

      Druck: Dl < 0 (Stauchung)

Dd: Durchmesseränderung bei Zug- oder Druckbelastung

      Zug: Dd < 0 (Querkontraktion)

      Druck: Dd > 0 (Querdehnung)

Fn: Normalkraft

Man kann sich nun überlegen (und untersuchen), wovon die Längenänderung Dl abhängt:

Zusammengenommen also:
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Die Proportionalitätskonstante wird mit1/E bezeichnet; E heißt Elastizitätsmodul, ihre Maßeinheit ist Pa.

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Stellt man nach der Normalkraft um, findet man einen „alten Bekannten“:

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Dies ist nichts anderes als das Hooke'sche Gesetz. In der Technik wird zumeist jedoch die folgende Form als Hooke'sches Gesetz bezeichnet:

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Weiter findet man experimentell im Elastizitätsbereich folgenden Zusammenhang zwischen Durchmesseränderung und Längenänderung:

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Diese Beziehung heißt Poisson'sches Gesetz, die Materialkonstante m wird Poisson-Zahl genannt. Sie ist eine einheitenlose Zahl.
 

Stoff E / 1010 Pa m
Aluminium
6,3 ... 7,3
0,34
Blei
1,5 ... 1,7
0,45
Grauguss
7,5 ... 10
0,26
Stahl
20 ... 22
0,2
Kupfer
10 ... 13
0,35
Wolfram
35 ... 36
0,17
Glas
5 ... 8
0,2
Holz
0,5 ... 1,2
--
Kautschuk
3 ... 8.10-5
--

Beispiel:

Ein Kranseil aus Stahl hat den Radius r = 1,5 cm und die Länge l = 40 m. Der Querschnitt ist kreisförmig, also ist die Querschnittsfläche

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Das Seil wird mit einer Masse von 5,6 t belastet. Die als Zugkraft wirkende Gewichtskraft dieser Masse ist

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Die relative Längenänderung ergibt sich aus dem Hooke'schen Gesetz:

,

und die absolute Längenänderung ist

.

Aus dem Poisson'schen Gesetz folgt für die Querkontraktion:

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Materialuntersuchung: Bestimmung des Elastizitätsmoduls E

Aufbau:

 
Material: 1 2 3 
l =  cm
d =  cm
m =  kg
Dl =  m

Lösung zu Material 1         Lösung zu Material 2         Lösung zu Material 3

Übungen:

1. Ein Metalldraht mit der Länge l = 3 m und dem Querschnitt A = 2 mm2 wird durch die Kraft F = 400 N gespannt. Dabei tritt eine elastische Längenzunahme Dl = 6 mm ein. Wie groß ist der Elastizitätsmodul E des verwendeten Metalles?

2. Ein Stahldraht (E = 2*105 N/mm2) mit der Länge l = 8 m und dem Querschnitt A = 1 mm2 soll durch eine in seiner Längsrichtung wirkende Kraft F so stark belastet werden, dass seine Länge um Dl = 4 mm zunimmt. Wie groß muss die Kraft F sein?