Mechanische Schwingungen und Wellen

Das Federpendel

Eine Schraubenfeder wird an einem Stativ befestigt und mit einem Massenstück belastet. Das Massenstück wird im folgenden als Pendelkörper bezeichnet.

Wird der Pendelkörper losgelassen beginnt die Pendelschwingung, d.h. die periodische Hin- und Herbewegung des Pendelkörpers zwischen zwei Umkehrpunkten. Da das schwingende System sich selbst überlassen ist führt es eine freie Schwingung aus (Gegensatz: erzwungene Schwingung unter der Wirkung äußerer Kräfte, etwa durch die Anregung mit einem Motor und Exzenter).

Als Periodendauer (Schwingungsdauer) T wird die Zeit für eine vollständige Pendelbewegung (Periode) bezeichnet, also z.B. beginnend beim Punkt maximaler Auslenkung, Durchgang durch die Ruhelage, Erreichen des Umkehrpunkts, erneuter Durchgang durch die Ruhelage, Erreichen des Ausgangspunktes.

Beschreibung der Bewegung

a) Fertigen Sie eine qualitative Skizze des Zeitverlaufes der Auslenkung s(t) mit folgenden Anfangsbedingungen an: Zur Zeit t = 0 soll sich der Pendelkörper gerade durch die Gleichgewichtslage (s = 0) nach oben (s > 0) bewegen.

b) Versuchen Sie den Zeitverlauf der Geschwindigkeit v(t) des Pendelkörpers zu skizzieren. (Anleitung: Wie groß ist wohl die Geschwindigkeit in den Umkehrpunkten?
Was können Sie über die Richtung der Bewegung und damit über das Vorzeichen der Geschwindigkeit aussagen?
Wo wird die Geschwindigkeit wohl am größten sein?)

c) Begründen Sie, dass die Bewegung des Pendelkörpers eine beschleunigte Bewegung ist. Skizzieren Sie den Zeitverlauf der Beschleunigung a(t).

Hinweis zu allen Messungen:

In den folgenden Messungen soll jeweils die Periodendauer T bestimmt werden. Bei kleinen Periodendauern empfiehlt es sich, die Zeit für mehrere Perioden zu messen und diese Zeit dann durch die Anzahl der gemessenen Perioden zu dividieren. So wird der Messfehler bei der Bestimmung von T verringert.

Messung 1: Einfluss der Amplitude auf die Periodendauer T

Verwenden Sie für diese Messung die Feder 1.

Masse des Pendelkörpers: m = __________ g = __________ kg

Stellen Sie verschiedene Werte der Amplitude ein und messen Sie die zugehörigen Periodendauern.

Wie hängt die Periodendauer demnach von der Amplitude ab?

Messung 2: Einfluss der Masse m auf die Periodendauer T

Verwenden Sie die gleiche Feder wie bei Messung 1.

Stellen Sie verschiedene Massen des Pendelkörpers her und messen Sie die zugehörigen Perioden-dauern.

Welcher Zusammenhang von T und m ergibt sich daraus?

Messung 3: Einfluss der Federkonstanten D auf die Periodendauer T

Die bisher verwendete Feder wird als Feder 1 bezeichnet. Eine weichere Feder heißt Feder 2, eine härtere Feder wird Feder 3 genannt. Von diesen drei Federn sind zuerst die Federkonstanten zu bestimmen.
Im nächsten Schritt ist eine geeignete Masse des Pendelkörpers zu wählen, so dass mit dieser Masse an allen drei Federn die Periodendauer noch vernünftig bestimmt werden kann.

m = __________ g = __________ kg

Hängen Sie diese Masse an die drei verschiedenen Federn und messen Sie die zugehörigen Periodendauern. Welcher Zusammenhang von T und D ergibt sich daraus?

Beschreibung der Energieumwandlungen

a) Um die Feder anfangs auf die Amplitude auszudehnen muss _______________arbeit verrichtet werden.

Diese Arbeit ist dann in der Feder gespeichert als _______________energie.

Diese berechnet sich aus der Formel ____________________

Bilden Sie ein Beispiel unter Verwendung Ihrer Messdaten:

D = __________ , = __________ , Energie: ____________________

Lässt man den Pendelkörper los, so verrichtet die Feder _______________arbeit am Pendelkörper.

Dabei wandelt sich die _______________energie der Feder um in _______________Energie des Pendelkörpers.

Die Umwandlung ist vollständig erfolgt, wenn der Pendelkörper die Position s = __________

erreicht hat. Danach wandelt sich die _______________Energie des Pendelkörpers um in

_______________energie der Feder, und zwar so lange, bis der Pendelkörper die Position

s = __________ erreicht hat.

b) Führen Sie die weitere Beschreibung bis zum Wieder-Erreichen des Startpunktes selbständig durch.

(Hinweis: Wenn von allen Reibungsverlusten abgesehen wird, gilt der Energieerhaltungssatz der Mechanik.)

Das Fadenpendel

Als Fadenpendel (oder mathematisches Pendel) wird ein an einem Faden aufgehängter Pendelkörper bezeichnet, wenn folgende Voraussetzungen erfüllt sind:

• die Masse des Fadens ist vernachlässigbar gegen die Masse m des Pendelkörpers;

• die Abmessungen des Körpers sind vernachlässigbar gegen die Länge l des Fadens.

Der Pendelkörper beschreibt einen Kreisbogen mit Radius l.

Zur Beschreibung der periodischen Bewegung kann der Auslenkungswinkel in Abhängigkeit von der Zeit benutzt werden.

Die Messung der Winkelamplitude kann indirekt durch Messung der horizontalen Auslenkung erfolgen:

.

Messung 1: Einfluss der Winkelamplitude auf die Periodendauer T

Masse des Pendelkörpers: m = __________ g = __________ kg

Fadenlänge: l = __________ cm

Stellen Sie verschiedene Werte der Winkelamplitude ein und messen Sie die zugehörigen Periodendauern.

Ist eine Abhängigkeit der Periodendauer von der Winkelamplitude zu erkennen?

Messung 2: Einfluss der Masse m auf die Periodendauer T

Fadenlänge: l = __________ cm

Winkelamplitude: = _________

Verwenden Sie verschiedene Kugeln unterschiedlicher Masse als Pendelkörper und messen Sie die zugehörigen Periodendauern. Welcher Zusammenhang von T und m ergibt sich daraus?

Messung 3: Einfluss der Fadenlänge l auf die Periodendauer T

Masse des Pendelkörpers: m = __________ g = __________ kg

Winkelamplitude: = _________

Stellen Sie verschiedene Fadenlängen ein und messen Sie die zugehörigen Periodendauern.

Welcher Zusammenhang von T und l ergibt sich daraus?

Woher kommt beim Fadenpendel die Rückstellkraft?

Wie würden sich die von Ihnen untersuchten Fadenpendel auf dem Mond verhalten?

Welche Größe beeinflusst demnach die Periodendauer?

Versuchen Sie mit Ihren bisherigen Erkenntnissen eine Formel für die Schwingungsdauer des Fadenpendels zu entwickeln.

Bestimmen Sie eventuell benötigte konstante Faktoren aus Ihren Messwerten.

Schwingungen einer Wassersäule

Material:

1. Stellen Sie das U-Rohr mit Hilfe des Stativmaterials aufrecht stehend auf.

2. Bestimmen Sie den Innenradius r des U- Rohrs.

r = _______________

Das U-Rohr stellt einen gebogenen Zylinder dar. Für ein eingefülltes Wasservolumen gelten daher die Zylinderformeln.

3. Füllen Sie ein mit dem Messzylinder abgemessenes Wasservolumen in das U-Rohr ein.

Versetzen Sie die Wassersäule in Schwingungen und messen Sie die Periodendauer T:

• Messen Sie die Zeit für mehrere Perioden und teilen Sie durch die Anzahl der Perioden.

• Wiederholen Sie diese Messung für jedes Volumen dreimal.

• Bilden Sie aus den drei Einzelwerten den Mittelwert und tragen Sie diesen als Messergebnis in die Tabelle ein.

4. Stellen Sie die Messergebnisse in einem V-T-Diagramm dar (V nach rechts, T nach oben).

Bestimmen Sie den Zusammenhang von T und V:

T ~ _______________

Tragen Sie die Rechnung zur Überprüfung Ihrer Vermutung in die dritte Tabellenspalte ein.

5. Berechnen Sie zu jedem Volumen die  Länge l der Wassersäule.

6. Zeigen Sie theoretisch, dass gilt :.

7. Betrachten Sie die Einheiten in der Proportionalität von 6. Welche physikalische Größe könnte demnach in der Beziehung für die Periodendauer noch fehlen?

T ~ _______________

8. An der Gesetzmäßigkeit für die Periodendauer der Schwingung der Wassersäule fehlt jetzt noch ein Zahlenfaktor. Versuchen Sie, diesen zu bestimmen.

Schwebung

Material:

Demonstration einer Schwebung

Eine Schwebung entsteht bei der Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen mit

• gleicher Amplitude
• verschiedener Frequenz.

Das Ergebnis dieser Überlagerung läßt sich leicht mit zwei etwas verstimmten Stimmgabeln deutlich machen. Wegen der unterschiedlichen Wellenlängen kommt es abwechselnd zur destruktiven und konstruktiven Interferenz. Das zu hörende periodische Auf- und Abschwellen der Lautstärke bezeichnet man als Schwebung.

Verschieben Sie die Zusatzmasse auf der zweiten Stimmgabel, schlagen Sie beide Stimmgabeln an und prüfen Sie mit dem Gehör, ob eine gut wahrnehmbare Schwebung entsteht. (Das Oszilloskop bleibt hier zunächst ausgeschaltet.)

Mathematische Darstellung der Schwebung

Am Ort des Mikrofons überlagern sich die von den Stimmgabeln ausgehenden Schallwellen. Da der
Ort gleich ist, genügt es die zeitabhängigen Schwingungen an diesem Ort zu betrachten.

Angenommen, die beiden Stimmgabeln schwingen harmonisch mit gleicher Amplitude, gleicher Phase und den verschiedenen Frequenzen f₁ und f₂. Dann gilt für die Schwingungen am Mikrofon:

.

Die Überlagerung ergibt mit dem Additionstheorem des Sinus:

Diese Gleichung beschreibt eine Schwingung der Amplitude 2s_m mit der mittleren Frequenz

.

Diese wird mit einer niederfrequenten Kosinusschwingung multipliziert, d.h. ihre Amplitude wird im Takt einer Kosinusschwingung vergrößert und verkleinert. Man sagt, die Schwingung ist moduliert. Die Frequenz der Modulation beträgt (f₁ - f₂) / 2. Da man eine positive Amplitude nicht von einer negativen unterscheiden kann, hört man ein doppelt so schnelles Auf- und Abschwellen der Lautstärke. Zu hören ist also eine Schwebungsfrequenz, die der Differenzfrequenz entspricht:

.

Messungen

A)

• Die Schwingung einer Stimmgabel soll auf dem Oszilloskop abgebildet werden. Dabei geht es
  zunächst darum, geeignete Einstellungen des Oszilloskops zu finden, daß die Schwingung gut
  erkennbar dargestellt wird. Dann kann die Periodendauer mit dem Oszilloskop gemessen und daraus die Frequenz der Stimmgabel bestimmt werden.

T₁ = __________ f₁ = __________

• Bei einer zweiten Stimmgabel ist eine Zusatzmasse in einer geeigneten Höhe so anzubringen,
  das eine Schwebung deutlich hörbar und oszilloskopisch darstellbar ist. Für die verstimmte
  Stimmgabel werden wieder Periodendauer und Frequenz ermittelt.

T₂ = __________ f₂ = __________

• Von der Schwebung werden - so gut es geht - mittlere Frequenz und Schwebungsfrequenz gemessen.

T_m = __________ f_m = __________

T_s = __________ f_s = __________

• Die erhaltenen Messwerte sollen mit der Theorie verglichen werden.

B)

Statt der Stimmgabeln werden jetzt 2 Tonfrequenzgeneratoren und zwei Lautsprecher verwendet.
Damit sind dieselben Messungen wie für die Stimmgabeln durchzuführen.

T₁ = __________ f₁ = __________

T₂ = __________ f₂ = __________

T_m = __________ f_m = __________

T_s = __________ f_s = __________

Erzwungene Schwingungen

Material:

Stößt man ein schwingungsfähiges System an und überlässt es sich dann selbst, so führt es eine freie Schwingung aus. Die Frequenz der freien Schwingung wird auch als Eigenfrequenz bezeichnet.

Wird ein schwingungsfähiges System von einem äußeren Antrieb periodisch erregt, spricht man von erzwungenen Schwingungen, da der äußere Antrieb dem System seine Frequenz aufzwingt. Im eingeschwungenen Zustand antwortet der Oszillator nicht mehr mit seiner Eigenfrequenz, sondern schwingt mit der Fremdfrequenz des Erregers.

Vorversuch

Versetzen Sie ein Federpendel (oder ein Fadenpendel) in Schwingungen, indem Sie den Aufhängepunkt auf und ab (bzw. hin und her) bewegen.

Bei niedrigen Anregungsfrequenzen (Zeitlupenschwingung der Hand) kann das Pendel der Anregung vollständig folgen. Erreger und Oszillator schwingen als Ganzes. Sie schwingen mit gleicher Amplitude und befinden sich im Gleichtakt: die Phasenverschiebung beträgt .

Geht man zu hohen Anregungsfrequenzen über, kann der Oszillator infolge seiner Trägheit der Anregung immer schlechter folgen. Die Amplitude des Oszillators geht gegen Null; Antrieb und Schwingung erfolgen im Gegentakt: die Phasenverschiebung beträgt .

Stimmen Erreger- und Eigenfrequenz überein, dann schaukelt sich der Oszillator zu Amplituden auf, welche die Anregungsamplitude weit übersteigen. Der Grund dafür ist, dass die Energiezufuhr immer im genau gleichen Takt und zum richtigen Zeitpunkt erfolgt. Dieses maximale Mitschwingen bezeichnet man als Resonanz. Im Resonanzfall hinkt der Oszillator der Erregerschwingung um eine Viertelperiode hinterher: die Phasenverschiebung beträgt .

Erzwungene Schwingungen eines Drehpendels

Aufbau:

Bei dem in der folgenden Abbildung gezeigten Drehpendel lässt sich die Anregung kontrolliert mit konstanter Amplitude über einen regelbaren Motor durchführen; eingestellt wird dazu die Spannung U_prüf. Die Dämpfung der Schwingung wird durch eine Wirbelstrombremse hervorgerufen. Die Stärke der Dämpfung wird mit der Spannung U_d eingestellt.

Messungen:

(1) Bestimmen Sie die Winkelrichtgröße .

Befestigen Sie dazu mit einem dünnen Faden einen Kraftmesser am Zeiger des Resonators. Ziehen Sie so am Kraftmesser, dass die Wirkungslinie der Kraft stets tangential zum Rand des Resonators verläuft (s. obige Skizze). Verdrehen Sie den Resonator um einen bestimmten Winkel.

r = __________ F = __________ M = __________

= _________

D^* = __________

(2) Bestimmen Sie die Eigenfrequenz des ungedämpften Drehpendels: Lenken Sie dazu den Resonator um einen beliebigen Winkel aus und messen Sie die Periodendauer.

T = __________ f = __________

Für die Periodendauer des Drehpendels gilt die Beziehung

.

Dabei ist J das Trägheitsmoment des Resonators. Bestimmen Sie J unter Verwendung Ihrer Messwerte für T und D^*.

(3) Demonstrieren Sie den Einfluss der Dämpfung bei der freien Schwingung des Drehpendels. Stellen Sie nacheinander die Dämpfungsspannungen U_d = 2 V und U_d = 4 V ein. Beobachten Sie das Verhalten des Pendels und vergleichen Sie mit der freien Schwingung des ungedämpften Pendels. Messen Sie jeweils die zugehörigen Peridendauern T₂ bzw. T₄.

T₂ = __________ T₄ = __________

Vergleichen Sie mit der Periodendauer der freien, ungedämpften Schwingung. Erläutern Sie gegebenenfalls Unterschiede.

(4) Resonanzkurven: Nehmen Sie die Amplitude des Resonators und seine Phasenverschiebung zum Erreger in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz auf. Stellen Sie dazu die Dämpfungsspannung auf den Wert

U_d = 2 V.

Stellen Sie dann den Erreger mit den in der Tabelle angegebenen Werten von U_prüf ein und messen Sie Periodendauer T_err des Erregers, Amplitude des Resonators und Phasenverschiebung zwischen Resonator und Erreger. (Skt: Skalenteile)

Stellen Sie die Amplitude des Resonators und seine Phasenverschiebung zum Erreger jeweils in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz in zwei Diagrammen dar.

(Wenn noch Zeit ist: Wiederholen Sie die Messung für eine stärkere Dämpfung.)

Schallwellen

Material:

1. Interferenz von Schallwellen

Untersucht wird die Überlagerung (Interferenz) kohärenter Wellenzüge, d.h. von Wellenzügen mit gleicher Amplitude, gleicher Frequenz und fester (zeitlich konstanter) Phasendifferenz am Beispiel von Schallwellen.

Zwei Lautsprecher werden in Reihe an einen Tonfrequenzgenerator geschaltet.
Abstand der Lautsprecher: d = 40 cm.
Generatorfrequenz: f = 4 kHz. Zur genauen Einstellung der Frequenz wird ein Oszilloskop verwendet.

Nach der Einstellung von f wird das Oszilloskop an das Sondenmikrofon geschaltet, mit dem das Wellenfeld vermessen wird. Messgrößen sind:

• Abstand r des Punktes im Wellenfeld vom Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der beiden Lautsprecher;

• Winkel , unter dem der Punkt zur Mittelsenkrechten der Verbindungsstrecke der beiden Lautsprecher erscheint.

Der Gangunterschied der von den beiden Lautsprechern ausgehenden Schallwellen ergibt sich wie folgt.

Messen Sie zu mehreren Interferenzmaxima und -Minima r und .

Ermitteln Sie daraus die Schallgeschwindigkeit in Luft.

Die Schallgeschwindigkeit in Luft ist abhängig von der Temperatur. Der theoretische Wert errechnet sich aus

.

Vergleichen Sie den theoretischen Wert mit Ihrem Messwert.

2. Messung der Schallgeschwindigkeit

An den Tonfrequenzgenerator wird ein Lautsprecher angeschlossen. Außerdem wird das Signal oszillographiert, um die Periodendauer (und damit die Frequenz) möglichst genau bestimmen zu können. Ein Mikrofon wird an Kanal 2 des Oszilloskops angeschlossen. Wird es vom Lautsprecher entfernt, vergrößert sich der Laufweg der Schallwelle vom Lautsprecher zum Mikrofon. Wenn das Oszilloskop auf Kanal 1 getriggert wird, läuft daher das Signal des Mikrofons auf dem Bildschirm nach links.

a) Stellen Sie die Frequenz f = 10 kHz ein.

b) Stellen Sie das Mikrofon in etwa 15 cm Entfernung vor den Lautsprecher. Wenn das Signal auf Kanal 2 zu klein sein sollte, aktivieren Sie die Vergrößerung "Y-Mag x 5".

c) Schieben Sie das Mikrofon so, das auf dem Bildschirm das Signal sinusförmig durch den Nullpunkt verläuft.

d) Entfernen Sie nun das Mikrofon vom Lautsprecher und messen Sie jeweils die Verschiebungslänge, nach der das Mikrofonsignal einmal mit einer ganzen Periode durch den Nullpunkt hindurch nach links gewandert ist. Dies ist die Wellenlänge der Welle.

e) Bilden Sie den Mittelwert der einzelnen -Messungen und bestimmen Sie die Schallgeschwindigkeit. Vergleichen Sie mit dem theoretischen Wert.

3. Stehende Schallwellen

Ein Lautsprecher wird in etwa 2 m Abstand senkrecht vor einer Wand aufgestellt. Mit einem Tonfrequenzgenerator wird eine Schallwelle im kHz-Bereich erzeugt. Die Amplitude des Wellenfeldes wird mit einem Sondenmikrophon mit angeschlossenem Oszilloskop ausgemessen. Fährt man das Schallfeld mit dem Mikrofon ab, so zeigt das Oszilloskop in Abhängigkeit vom Abstand zur Wand minimale bzw. maximale Amplituden an.

a) Stellen Sie den Tonfrequenzgenerator auf die gewünschte Frequenz ein. Zur genauen Einstellung der Frequenz verwenden Sie das Oszilloskop.

b) Schalten Sie das Mikrofon auf Kanal 2 des Oszilloskops. Bestimmen Sie die Position mehrerer Knoten.

c) Ermitteln Sie aus dem Abstand je zwei aufeinander folgender Knoten die Wellenlänge der Welle.

d) Berechnen Sie den Mittelwert der Wellenlänge.

e) Bestimmen Sie mit den vorliegenden Daten die Schallgeschwindigkeit in Luft und vergleichen Sie mit dem theoretischen Wert nach der Formel aus Versuch 1.1.

Stehende Seilwellen

Material:

Aufbau:

Befestigen Sie den Motor mit einer Tischzwinge an der Vorderkante des Experimentiertisches. Als Exzenter wird eine Nutrolle benutzt. Bringen Sie an der Hinterkante des Experimentiertisches und an einem Arbeitstisch am Ende des Raumes mit Tischzwingen zwei kurze Stativstangen an. Das Gummiseil wird an der Stange hinter dem Motor befestigt und über die Nutrolle geführt. Am anderen Ende des Seils wird der Kraftmesser befestigt. Spannen Sie nun das Seil mit der gewünschten Kraft und befestigen Sie dann das lose Ende an der zweiten Stativstange.

Die Drehzahl des Motors kann kontinuierlich geregelt werden. Damit ist dann auch die Frequenz der Seilwelle, die durch den Exzenter angegeregt wird, bekannt. Die Frequenz wird mit einem Stroboskop ermittelt.

Messungen:

1. Spannen Sie das Gummiseil mit F = 2,5 N.

Erzeugen Sie dann die Grundschwingung (1. Harmonische) und die 2. und 3. Harmonische des Seils.

Bestimmen Sie jeweils die Wellenlänge aus dem Abstand zweier Schwingungsknoten und ermitteln Sie die Phasengeschwindigkeit der Seilwelle.

Mittelwert:

2. Wiederholen Sie die Messungen für die Spannkraft F = 5,0 N.

Mittelwert:

Auswertung:

Wie hängt die Phasengeschwindigkeit c der Seilwelle von der Spannkraft F ab?

Eigenschwingungen einer Luftsäule (Kundt'sches Rohr)

Material:

Stehende Longitudinalwellen sind z.B. die Eigenschwingungen von Luftsäulen. Bei diesen lassen sich Knoten und Bäuche gut in der Kundt'schen Röhre beobachten.

Vor einem offenen oder halboffenen Glasrohr, das feinverteiltes trockenes Korkmehl enthält, wird ein Lautsprecher aufgestellt, der mit einem Tonfrequenzgenerator verbunden ist. Die Frequenz des Generators wird oszillographisch bestimmt.

Das zweite Ende des Rohrs wird mit einem verschiebbaren Stempel verschlossen.

a) Stellen Sie bei fester Position des Stempels Frequenzen ein, bei denen sich stehende Wellen ergeben. Die Bäuche und Knoten sind an den Kundt'schen Staubfiguren zu erkennen.

b) Bestimmen Sie aus den Staubfiguren die Wellenlänge und ermitteln Sie die Schallgeschwindigkeit in Luft.

c) Stellen Sie die feste Frequenz f = 1 kHz ein. Schieben Sie den Stempel dann langsam weiter in das Rohr hinein, bis sich stehende Wellen ausbilden. Messen Sie auch hier die Wellenlänge und bestimmen Sie wieder die Schallgeschwindigkeit.

Vergleichen Sie den erhaltenen Wert für die Schallgeschwindigkeit mit dem theoretischen Wert, der sich aus der folgenden Formel ergibt.

Bestimmen Sie weiter den Wert von k in

d) Entfernen Sie den Stempel aus dem Rohr und stellen Sie Frequenzen ein, die zur Ausbildung stehender Wellen führen.

Monochord / Spannkraft einer Saite

Material:

Eine zweiseitig eingespannte Saite wird durch Anzupfen in der Mitte in ihrer Grundschwingung erregt (). Für die Phasengeschwindigkeit c einer Transversalwelle auf einer gespannten Saite gilt

,

rho: Dichte der Saite (Stahl: );

A: Querschnittsfläche der Saite

A)

Messen Sie die Daten der Monochordsaite mit dem höheren Ton:

Saitenlänge: L = _______________

Drahtdurchmesser: d = _______________

Saitenquerschnitt: A = _______________

B)

Lassen Sie die Saite schwingen. Stimmen Sie den Tonfrequenzgenerator auf die Saitenfrequenz ab. Ermitteln Sie mit der Schwebungsmethode die Frequenz der Saite. Das Signal des Generators wird oszillographiert, um die Frequenz möglichst genau zu ermitteln.

f = _______________

______________

Bestimmen Sie die Phasengeschwindigkeit c der Transversalwelle auf der gespannten Saite.

c = _______________

Ermitteln Sie die Spannkraft F , mit der die Saite gespannt ist.

F = _______________

C)

Wiederholen Sie die Messungen für die Monochordsaite mit dem tieferen Ton.

Rechnerversuch zur Fourier-Synthese

Es soll mit Rechnerunterstützung untersucht werden, was geschieht, wenn mehrere sinusförmige
Wellen überlagert werden mit den Eigenschaften:

• gleiche Ausbreitungs- und Schwingungsrichtung
• verschiedene Amplitude
• verschiedene Frequenzen (Wellenlängen).

Die Frequenzen f_n = n^.f₁ bezeichnet man als Harmonische der Grundfrequenz f₁ (analog für l_k).

Jede Funktion F(t), welche die Periode T hat, kann zu einer Funktion mit der Periode 2pi gemacht werden.

Die volle Periode T entspricht 2pi, dann verhalten sich t und x entsprechend:

.

Damit wird dann

zu einer Funktion der Variablen x und diese Funktion hat die Periode 2pi.

Ein in Physik und Technik sehr oft benötigter Zusammenhang ist der

Da stets auf die Periode 2pi transformiert werden kann, genügt die Betrachtung von Funktionen mit dieser Periode.

Die Durchführung der im Satz angesprochenen Zerlegung wird auch als Fourier-Analyse bezeichnet. Hier soll umgekehrt untersucht werden, was die Zusammensetzung verschiedener Sinus- und Cosinusschwingungen ergibt (Fourier-Synthese). Dazu bildet man Fourier-Summen:

A)

Die folgenden Beispiele sollen mit dem Rechner untersucht werden.

In x-Richtung soll von 0 bis 4pi dargestellt werden. Als Schrittweite ist z.B. dx = 0,05 geeignet. Die Berücksichtigung der Summanden bis n = 11 reicht aus.

Fragen:

1) Was für periodische Vorgänge werden durch diese Fourier-Summen näherungsweise dargestellt?

2) Wie unterscheiden sich die Funktionen, die sich rein aus Sinus-Koeffizienten und Funktionen, die sich rein aus Cosinus-Koeffizienten zusammensetzen?

B)

1) Setzen Sie alle Koeffizienten auf Null. Geben Sie dann die Cosinus-Koeffizienten a₅ = a₆ = 1 ein. Erläutern Sie, wie die entstehende Funktion zustande kommt. Hinweis: Es gilt das folgende Additionstheorem:

.

2) Vergleichen Sie mit der Funktion, die nur mit a₉ = a₁₀ = 1 bzw. nur mit a₂ = a₃ = 1 gebildet wird.

3) Setzen Sie wieder nur a₅ = a₆ = 1. Ergänzen Sie dann schrittweise:

a₄ = a₇ = 0,53,

a₃ = a₈ = 0,12.

Wie ändert sich die Funktion gegenüber der Darstellung mit nur 2 Koeffizienten a₅ = a₆ = 1? Achten Sie auf die Einhüllende.