3.4 Der lineare Potentialtopf

3.4.1 Unendlich hohe Wände



Ein Teilchen, z.B. ein Elektron, ist in einem lang gestreckten Körper der Länge L eingeschlossen. Im Innern des Körpers kann sich das Teilchen frei bewegen. Die potentielle Energie ist also konstant, und ihr Wert kann auf Wpot = 0 festgelegt werden.

Weiter soll das Teilchen nicht in die Begrenzungen des Körpers eindringen können, d.h. Wpot wird dort unendlich groß.

Der Verlauf der potentiellen Energie hat also die Form eines (unendlich hohen) Topfes, daher die Bezeichnung des Modells als linearer Potentialtopf.


In der Quantenmechanik wird das Teilchen durch eine Wellenfunktion beschrieben, die der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung genügt. Im Außenraum besitzt die Schrödinger-Gleichung nur die Lösung . Damit die Wellenfunktion stetig ist, müssen die Lösungen im Inneren die Randbedingungen

erfüllen. Im Inneren lautet die Schrödinger-Gleichung:

Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist

Die Randbedingung für x = 0 ergibt

Die Randbedingung für x = L

ist erfüllt, wenn für die Wellenzahl k gilt . Es sind also nur bestimmte Werte für k erlaubt:

Für jeden Wert von n existiert eine Wellenfunktion:

Diese Funktionen werden als Eigenfunktionen bezeichnet. Da die Energie mit der Wellenzahl über zusammenhängt, kann W nur die Werte

annehmen. Die Energie ist also quantisiert:

Diese Werte werden als Eigenwerte der Energie bezeichnet. W1 ist die Grundzustandsenergie.Die Zahl n heißt Quantenzahl der Energie. Der niedrigste mögliche Energie-Eigenwert ist von Null verschieden, und entspricht der schon bei den Unbestimmtheitsrelationen erwähnten Nullpunktsenergie.

Die Konstanten An in den Wellenfunktionen werden durch die Normierungsbedingung bestimmt:

Mit der Substitution:

wird die Normierungsbedingung zu

Das Integral hat den Wert

Damit ergibt sich An zu

Die normierten Eigenfunktionen für den linearen Potentialtopf (mit unendlich hohen Wänden) lauten also:

Für ein Elektron in einem linearen Potentialtopf der Breite L = 1 nm sind die ersten drei Eigenwerte der Energie:

W1 = 0,376 eV ; W2 = 1,504 eV ; W3 = 3,384 eV

Die folgenden Abbildungen zeigen die zugehörigen Graphen von und .


3.4.2 Endlich hohe Wände

Der Fall des endlich hohen Potentialtopfes ist etwas komplizierter.

Für ein Teilchen in diesem Potentialtopf ist W < W0. Die Schrödinger-Gleichung lautet innen:

Daraus ist abzulesen:

Ist , dann ist , der Graph von ist also rechtsgekrümmt.

Ist , dann ist , der Graph von ist also linksgekrümmt.

Außerhalb des Potentialtopfes lautet die Schrödinger-Gleichung:

Hier ist zu erkennen:

Ist , dann ist , der Graph von ist also linksgekrümmt.

Ist , dann ist , der Graph von ist also rechtsgekrümmt.

Wegen dieses Krümmungsverhaltens divergiert die Wellenfunktion für für die meisten Energiewerte. Nur für ganz bestimmte Energiewerte, die sogenannten Eigenwerte der Energie, werden die physikalischen Randbedingungen erfüllt. Die zugehörigen Wellenfunktionen werden als Eigenfunktionen bezeichnet.

Die Energie-Eigenwerte für ein Elektron in einem Potentialtopf der Breite und der Höhe 4 eV sollen hier näherungsweise mit dem Computer ermittelt werden.

Die zu lösende Schrödinger-Gleichung wird in folgender Form geschrieben:

Daten:

Konstante der Schrödinger-Gleichung:

(Mit dem Faktor e werden die Energien in eV erhalten.)

halbe Topfbreite:

Schrittweite:

Startwerte:

Rechenschleife:

Diese Schleife wird für einen festen Energiewert bis durchlaufen. Wenn sich außerhalb des Potentialtopfes nicht ergibt, wird der Energiewert verändert und die Schleife erneut durchlaufen. Auf diese Weise werden schließlich die gesuchten Eigenwerte der Energie gefunden.

Es gibt 5 Energie-Eigenwerte für das Elektron im Potentialtopf der Höhe 4 eV:

W1 = 0,1311062 eV    W2 = 0,522916 eV
W3 = 1,16626 eV        W4 = 2,0484 eV
W5 = 3,1176145 eV

Im Vergleich dazu liegen die Energie-Eigenwerte im Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden etwas höher:

W1 = 0,167 eV    W2 = 0,669 eV
W3 = 1,504 eV    W4 = 2,674 eV
W5 = 4,175 eV

Die folgenden Abbildungen zeigen die Verläufe der Eigenfunktionen und der zugehörigen Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichten.

 n

 1

 2

 3

 4

 5




Übungen

1. Ein Proton befinde sich in einem eindimensionalen Kasten der Länge L. Berechnen Sie die Grundzutandsenergie für

a) (Größenordnung eines Moleküls)

b) (Größenordnung eines Kerns).

2. Ein Körper der Masse 10-6 g bewege sich mit der Geschwindigkeit 10-1 cm/s in einem Kasten der Länge 1 cm. Berechnen Sie den ungefähren Wert der Quantenzahl n.

3. a) Berechnen Sie für den Körper aus 2a) die Orts- und Impulsunbestimmtheit unter der Annahme

b) Welchen Wert nimmt die Größe an?

4. Zeigen Sie, dass für große n die relative Differenz der Energieniveaus im Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden in guter Näherung durch

gegeben ist.