3.3 Die Schrödinger-Gleichung

Im Jahre 1926 formulierte der österreichische Physiker Erwin Schrödinger (Nobelpreis 1933) eine Wellengleichung für Teilchen, die nach ihm benannte Schrödinger-Gleichung. Diese Gleichung kann man nicht herleiten, ebenso wie sich die Newton'schen Axiome nicht herleiten lassen. Es lassen sich aber sinnvolle Überlegungen anstellen, wie eine Wellengleichung für Teilchen aussehen könnte.

1.

Die bekannte Wellengleichung des Lichtes lautet mit der elektrischen Feldstärke E(x,t) als Wellengröße

Lösungen dieser Gleichung sind die harmonischen Wellen

Ableitungen nach dem Ort:

Ableitungen nach der Zeit:

Beim Ableiten nach dem Ort tritt ein Faktor k auf.

Beim Ableiten nach der Zeit tritt ein Faktor auf.

Einsetzen der Ableitungen in die Wellengleichung ergibt:

Dies entspricht der Energie-Impuls-Relation des Photons, wie eine Multiplikation mit zeigt:

2.

Mit den de Broglie-Beziehungen findet man eine zu (P) analoge Bedingung für massive Teilchen. Die Gesamtenergie eines massiven Teilchens der Masse m ist

Im Unterschied zu (P) hängt nicht linear von k ab und enthält zusätzlich die potentielle Energie.

3.

Bei obigem Differenzieren von E(x,t) trat bei der Ableitung nach der Zeit ein Faktor auf und beim Ableiten nach dem Ort ein Faktor k. Gleichung (T) legt daher die Vermutung nahe, dass die gesuchte Wellengleichung für ein Teilchen die erste Ableitung nach der Zeit und die zweite Ableitung nach dem Ort enthalten sollte:

4.

Zum Aufbau von Wellenpaketen wurden bereits komplexe harmonische Wellen verwendet. Diese sollten eine Lösung der gesuchten Wellengleichung sein.

Ableitungen nach dem Ort:

Ableitung nach der Zeit:

Eingesetzt:

Der Vergleich mit

zeigt, wie die Konstanten a und b sinnvoll zu wählen sind:

Damit ergibt sich folgende sinnvolle Formulierung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung:

5.

Wenn die potentielle Energie von der Zeit unabhängig ist, ergibt sich eine einfachere Form dieser Gleichung. Die komplexen harmonischen Wellen lassen sich auch in folgender Form schreiben:

Dies wird verallgemeinert: Eine Wellenfunktion wird in einen zeitabhängigen Teil und einen nur noch vom Ort abhängigen Teil separiert:

Einsetzen in die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung ergibt:

Es folgt die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung:

Da die zeitunabhängige Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Teilchens darstellt, lassen sich einige Bedingungen für die Lösungen dieser Gleichung angeben:

.



Übungen

1. Zeigen Sie, dass die Wellenfunktion die zeitabhängige Schrödinger- Gleichung nicht erfüllt.

2. Zeigen Sie, dass die Wellenfunktion sowohl die klassische Wellengleichung wie auch die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung erfüllt.