7. Elektronen im Magnetfeld

Vorüberlegung

Werden Elektronen mit einer Anfangsgeschwindigkeit v₀ senkrecht zu den Feldlinien in ein homogenes Magnetfeld geschossen, so steht die Lorentz-Kraft in jedem Zeitpunkt senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor. Die Lorentz-Kraft ändert daher nicht den Betrag der Geschwindigkeit der Elektronen, sondern nur die Richtung des Geschwindigkeitsvektors. Zu erwarten ist also, dass die Elektronen eine Kreisbewegung mit konstanter Geschwindigkeit beschreiben.

Simulation derBewegung

Die Simulation der Bewegung mit einer Tabellenkalkulation bestätigt diese Erwartung.

Beschreibung der Simulation

Guckst du hier ;-)

Experimentelle Untersuchung

Mit einem Fadenstrahlrohr lässt sich experimentell bestätigen, dass die Elektronen im Magnetfeld Kreisbahnen beschreiben. Das Fadenstrahlrohr besteht aus einer Elektronenkanone, die in einer fast luftleeren Glasröhre eingebaut ist. Die Röhre enthält Wasserstoffgas unter geringem Druck, das durch die Elektronen zum Leuchten angeregt wird. Das benötigte homogene Magnetfeld wird mit einem Helmholtz-Spulenpaar erzeugt.
Theoretische Betrachtung
Im Folgenden wird die Geschwindigkeit mit v_s bezeichnet um zu betonen, dass die Geschwindigkeit senkrecht zu den Feldlinien des Magnetfeldes steht. Mit m_e ist die Elektronenmasse gemeint.

Die Lorentz-Kraft auf die Elektronen wirkt als Zentripetalkraft:

Die Elektronengeschwindigkeit ergibt sich mit der Beschleunigungsspannung U:

v_s wird in Gleichung (1) eingesetzt:

Nach Quadrieren ergibt sich:

Der Quotient e / m_e wird als spezifische Ladung des Elektrons bezeichnet. Werden am Fadenstrahlrohr U, B und r gemessen, so erhält man aus diesen Größen die spezifische Ladung.

Messungen

Daten der Helmholtz-Spulen:

n = 130 , R = 15 cm, I = 1,5 A

Flussdichte:

Der Mittelwert von weicht vom genauen Wert

nur um 7% ab.

Die Hauptfehlerquelle bei der vorliegenden Messung liegt in der Bestimmung des Radius der Kreisbahn. Dies ist die Größe, deren Genauigkeit am geringsten ist.

Ergänzung

Mit der Ablenkung von Elektronen im Magnetfeld kann lediglich die spezifische Ladung e / m_e ermittelt werden, nicht aber die Elementarladung oder die Elektronenmasse allein. Dazu ist ein weiteres Experiment nötig, in dem unabhängig entweder die Elektronenladung oder die Elektronenmasse bestimmt wird.

Historisch wurde zuerst die Elementarladung von R.A.Millikan (1916) in seinem berühmten „Öltröpfchen-Versuch“ gemessen (s. Lehrbuch, S.200/201). Mitergibt sich dann für die Elektronenmasse:

Schraubenbahnen

Wird die Röhre des Fadenstrahlrohrs so verdreht, dass der Elektronenstrahl nicht mehr senkrecht zu den Magnetfeldlinien verläuft, sind Schraubenbahnen der Elektronen zu beobachten.

Um dies zu verstehen, wird der Geschwindigkeitsvektorder Elektronen in zwei Komponenten zerlegt:

die Komponente v_s senkrecht zum Magnetfeld, die zum Entstehen der Lorentz-Kraft und damit zu einer Kreisbahn mit Radius r führt;
die Komponente v_p parallel zum Magnetfeld, die eine gleichförmige Bewegung der Elektronen in diese Richtung bewirkt und so die Ganghöhe h der Schraubenbahn erzeugt.

Wenn der Winkel zwischen Geschwindigkeitsvektor und Magnetfeldrichtung mitbezeichnet wird, gilt für die Geschwindigkeitskomponenten

Der Radius der Schraubenbahn ergibt sich aus dem Grundansatz:

Daraus folgt für r:

Wird der Grundansatz nach v_s aufgelöst und berücksichtigt, dassist, lässt sich die Umlaufdauer der Elektronen berechnen:

Für T ergibt sich daher:

Da sich ein Elektron in dieser Zeit in B-Richtung mit der Geschwindigkeit v_p bewegt, beträgt die Ganghöhe der Schraubenbahn

Übungen

empfohlene Aufgaben aus dem Lehrbuch Lösungen

S.217, A1 a) U = 13,7 nV
b)

c)

S.217, A2 a)
b)

c)

S.217, A3

S.217, A4 a)
b)

c)

d) h = 18,1 m

S.219, A1

S.219, A2

S.219, A3 a)
b)

S.219, A4

Weitere Übungen

1. In einer Elektronenkanone werden Elektronen mit der Spannung U = 200 V beschleunigt und in ein homogenes Magnetfeld senkrecht zu dessen Feldlinien eingeschossen. Die Elektronen beschreiben in diesem Feld eine Kreisbahn mit dem Radius r = 4,2 cm.

Welchen Betrag hat die magnetische Flussdichte?

2. Ein elektrisch geladenes Teilchen mit der Ladung Q und der Masse m beschreibt in einem homogenen Magnetfeld eine Kreisbahn oder eine Schraubenbahn mit konstanter Ganghöhe h. Die Bahnen verlaufen auf einem Zylinder, dessen Achse eine Feldlinie des Magnetfeldes ist.

Zeigen Sie, dass die Winkelgeschwindigkeit, mit der das Teilchen die Zylinderachse umläuft, von der Teilchengeschwindigkeit unabhängig ist.

3. Ein Elektron und ein -Teilchen (Helium-Kern) werden mit den Geschwindigkeiten v_e und v_a in ein Magnetfeld eingeschossen. Die Geschwindigkeitsvektoren stehen senkrecht zu den Feldlinien. ()

In welchem Verhältnis stehen die Geschwindigkeiten zueinander, wenn die beiden Teilchen Kreise mit gleichem Radius beschreiben?

4. In einer Elektronenkanone K werden Elektronen mit U = 3,0 kV beschleunigt. Anschließend durchlaufen die Elektronen eine l₁ = 4,0 cm breite Zone, in der ein homogenes Magnetfeld mit der Flussdichte B = 1,25 mT herrscht . Der Flussdichtevektor weist senkrecht in die Zeichenebene hinein (s. Abbildung). Hinter der vom Magnetfeld durchsetzten Zone laufen die Elektronen durch eine l₂ = 20 cm breite feldfreie Zone, danach treffen sie auf einen Schirm S auf.

a) Berechnen Sie das Stück, um das der Auftreffpunkt der Elektronen gegen denjenigen Punkt verschoben ist, den sie auf dem Schirm ohne magnetische Ablenkung erreichen würden.

b) Zeigen Sie, dass die Ablenkungfür kleine Ablenkungswinkel proportional zur Flussdichte B ist.

5. Ein Elektron wird mit U = 180 V beschleunigt und in ein homogenes Magnetfeld eingeschossen. Die Richtung der Einschussgeschwindigkeit und die Magnetfeldrichtung bilden einen von 90° verschiedenen Winkel, so dass das Elektron eine schraubenförmige Bahn beschreibt. Der Radius des Zylinders, auf dem die Schraubenbahn liegt, ist r = 6,25 cm; die Ganghöhe der Schraubenbahn ist h = 9,44 cm.

a) Welche Flussdichte B hat das Magnetfeld?

b) Welchen Winkel bildet der anfängliche Geschwindigkeitsvektor mit dem Flussdichtevektor?

(Anleitung: Zerlegen Siein eine Komponentesenkrecht zuund eine Komponenteparallel zu B und beachten Sie.)

Lösungen

1. B = 1,14 mT

4. a)

5. a)

empfohlene Aufgaben aus dem Lehrbuch	Lösungen
S.217, A1	a) U = 13,7 nV b) c)
S.217, A2	a) b) c)
S.217, A3
S.217, A4	a) b) c) d) h = 18,1 m
S.219, A1
S.219, A2
S.219, A3	a) b)
S.219, A4