3. Interferenz

Die Überlagerung von Wasserwellen (etwa zwei Kreiswellen in der Wellenwanne) oder von Schallwellen (etwa von zwei Lautsprechern) führt zu wellenfreien Zonen, wenn die Erregerfrequenzen gleich sind und die Erreger mit zeitlich konstanter Phasendifferenz schwingen. Solche Wellen werden als kohärente Wellen bezeichnet. In Verallgemeinerung der Beobachtungen in der Wellenwanne und bei Schallwellen kann festgehalten werden: Wenn bei unbekannten physikalischen Vorgängen Interferenzerscheinungen beobachtet werden können, so wird eine Beschreibung dieser Vorgänge durch das Wellenbild ermöglicht.

Eine wichtige Stütze für die Annahme, dass Licht als ein Wellenvorgang gedeutet werden kann, wäre also der Nachweis von Interferenzerscheinungen. Durch Überlagerung kohärenter Lichtwellen müsste es also möglich sein, an bestimmten Stellen des Raumes Dunkelheit zu erzeugen. Dabei ergibt sich folgendes Problem: Solange nicht bekannt ist, was in einer Lichtwelle schwingt, können auch nicht in gleicher Phase schwingende Lichtquellen hergestellt werden.

Als erster fand Thomas Young 1802 einen experimentellen Ausweg. Er betrachtete im Anschluss an die Huygens'sche Theorie einen engen Spalt, der von einem Parallel-Lichtbündel beleuchtet wird, als Zentrum einer Elementarwelle. Wird mit dem vom Spalt ausgehenden Licht ein Doppelspalt beleuchtet, so liegen zwei kohärent schwingende Erregerzentren vor. Tatsächlich konnte Young mit einer solchen Anordnung Interferenzmuster beobachten und deutete dies als Folge des Wellencharakters von Licht.

3.1 Interferenz am Doppelspalt

3.1.1 Verwendung von Laserlicht

Die Untersuchung der Interferenz am Doppelspalt ist heute mit einem Laser sehr einfach möglich.

Aufbau:

Zur Verfügung stehen in dunkle Folien geritzte Doppelspalte, die in Diarahmen angebracht sind.

Bezeichnungen:

d: Spaltabstand

b: Spaltbreite

vorhandene Doppelspalte:

Der Doppelspalt wird mit kohärentem Laserlicht beleuchtet. Auf einem in größerer Entfernung angebrachten Transparentschirm ist eine Folge von hellen Streifen, die durch schmale dunkle Streifen getrennt sind, zu beobachten.

Die Lage der Interferenzminima und -Maxima lässt sich elementar bestimmen:

Die Entfernung des Schirms ist sehr groß gegen den Abstand d der Spalte. Die Lichtwege s1 und s2, die bis zu einem Punkt P auf dem Schirm zurückgelegt werden, sind daher praktisch parallel.

Das Dreieck E1E2A ist dann in guter Näherung rechtwinklig mit rechtem Winkel bei A. Der Gangunterschied, mit dem die von E1 und E2 ausgehenden Wellen auf dem Schirm interferieren, ist somit

.

Aus den Bedingungen für konstruktive und destruktive Interferenz lassen sich nun Beziehungen für die Winkel herleiten, unter denen die Interferenzmaxima bzw. -Minima zu beobachten sind.

Interferenzmaxima:

Interferenzminima:

Zum Ausmessen der Interferenzfigur wird auf dem Schirm der Abstand x eines Maximums oder Minimums vom Hauptmaximum gemessen:

Wegen der Kleinheit der Winkel kann gesetzt werden:

Damit ergibt sich für die Maxima:

,

und für die Minima:

.

3.1.2 Verwendung von Glühlicht

Die Verwendung von Glühlicht erfordert einen größeren experimentellen Aufwand als bei Verwendung von Laserlicht. Folgende Abbildung zeigt den Grundaufbau (Maße wie im Praktikumsversuch):

                            B: Beleuchtungsquelle
                            F: Farbfilter
                            LK: Kondensorlinse; f = 5 cm
                            SB: Beleuchtungsspalt
                            LB: Beleuchtungslinse; f = 30 cm
                            DS: Doppelspalt
                            LA: Abbildungslinse; f = 30 cm
                            OB: Beobachtungsoptik (Lupe) mit Mess-Skale

Um einfarbiges Licht zu erhalten wird vor der Beleuchtungsquelle ein Farbfilter angebracht. Durch die Kondensorlinse LK wird der Beleuchtungsspalt SB ausgeleuchtet. Er befindet sich in der Brennebene der Kondensorlinse. Die Beleuchtungslinse LB wird so angeordnet, dass der Beleuchtungsspalt auch in ihrer Brennebene liegt und daher paralleles Licht erzeugt wird. Das parallele Licht fällt durch den Doppelspalt. Jedes parallel aus dem Doppelspalt austretende Lichtbündel wird durch die Abbildunglinse LA in einem Punkt in ihrer Brennebene vereinigt. Dies entspricht der Beobachtung der Interferenzfigur "im Unendlichen" (Fraunhofer'sche Beugung).

Wie im vorigen Abschnitt schon beschrieben gilt wegen der Kleinheit der Winkel:

Das folgende Bild zeigt die Ansicht der Interferenzfigur für einen Doppelspalt bei Verwendung eines Rotfilters.

Daten:

Spaltbreite b = 0,1 mm ; Spaltabstand d = 0,25 mm

e = 28 cm ; n = 1 ; xmax,1 = 0,7 mm

Damit ergibt sich die Wellenlänge des roten Lichts zu

Die Breite des Beleuchtungsspaltes ist bei dem beschriebenen Versuch von besonderer Bedeutung. Ist die Spaltbreite zu klein, wird die Interferenzfigur sehr lichtschwach. Wird die Spaltbreite vergrößert, ist zunächst zu beobachten, dass die Interferenzfigur an Schärfe verliert. Wenn die Spaltbreite zu groß wird, ist schließlich kein Interferenzmuster mehr zu erkennen.

In der folgenden Abbildung ist die Breite des Beleuchtungsspaltes, der als ausgedehnte Lichtquelle betrachtet werden muss.

1. Der Punkt C des Beleuchtungsspaltes erzeugt in der Beobachtungsebene das Interferenzmuster des Doppelspaltes, das im Punkt M ein Maximum besitzt. Die aufeinanderfolgenden Maxima haben den Abstand . Dieser Abstand ergibt sich wie folgt: Für Interferenzmaxima gilt

Wegen der Kleinheit der Winkel kann gesetzt werden

und daher ist

Damit erhält man für den gesuchten Abstand zweier Maxima

2. Der Punkt B des Beleuchtungsspaltes sei so weit von der Achse entfernt, dass die von ihm ausgehenden Wellen in S1 und S2 mit einem Gangunterschied von ankommen. Das von ihm erzeugte Interferenzmuster des Doppelspaltes besitzt im Punkt M ein Minimum. Anders gesagt: Das von B erzeugte Interferenzmuster ist gegen das von C erzeugte Interferenzmuster so verschoben, dass Maxima auf Minima treffen und die Interferenzmuster sich gegenseitig auslöschen.

3. Die von B bzw., C ausgehenden gestrichelten Hilfslinien bilden zusammen mit dem Beleuchtungsspalt und der Beobachtungsebene eine Strahlensatzfigur. Anwendung eines Strahlensatzes liefert den Zusammenhang

Daraus folgt

Einsetzen der Beziehung für aus Punkt 1:

4. Für diesen Wert der Breite des Beleuchtungsspaltes verschwinden die Interferenzstreifen. Daraus folgt:

Für erkennbare Interferenzmuster am Doppelspalt gilt für die Breite s des Beleuchtungsspaltes die Kohärenzbedingung

3.1.3 Amplituden und Intensität bei der Doppelspaltinterferenz

Im Folgenden werden sinusförmige Wellen betrachtet

Dabei ist

die Kreisfrequenz, und

die sog. Wellenzahl.

1. Die von zwei punktförmigen Quellen E1 und E2 ausgehenden Wellen interferieren in einem weit entfernten Punkt P auf dem Schirm mit einem Gangunterschied

:

Die Phasendifferenz ist also

.

Weiter sei vorausgesetzt, dass die Amplituden der Wellen gleich sind:

.

Die resultierende Welle im Punkt P ist dann

.

Eine graphische Darstellung der Überlagerung der beiden Wellen erhält man durch die vektorielle Addition der beiden Schwingungszeiger mit der Phasendifferenz :

Zur weiteren Umformung wird ein Additionstheorem der Winkelfunktionen benötigt:

.

Mit und ergibt sich für die resultierende Welle

Die Amplitude der resultierenden Welle ist also

.

2. Die Helligkeit von Licht wird mit dem Begriff Intensität beschrieben. Der Begriff der Intensität einer Welle soll hier am Beispiel einer linearen sinusförmigen Welle, die sich auf einer Masse-Feder-Kette ausbreitet, erläutert werden.

Aus der Gleichung für die Elongation

ergibt sich für die Schnelle der Oszillatoren

.

Die kinetische Energie eines Oszillators ist

.

Wird der Mittelwert über eine Periodendauer T gebildet, folgt

.

Als Energiestrom bezeichnet man die an einer Stelle x pro Zeiteinheit vorbeiströmende Energie:

.

Bei räumlichen Wellen wird dieser Energiestrom noch auf die durchströmte Fläche F bezogen; diese Größe ist die Intensität I:

.

Somit ergibt sich: Die Intensität einer Welle ist proportional zum Quadrat der Amplitude:

.

3. Für die Intensität bei der Doppelspalt-Interferenz ergibt sich damit:

Für die Intensität einer Einzelwelle ist . Somit folgt

Die Interferenzminima ergeben sich als die Nullstellen dieser Intensitätsverteilung:

Mit der Phasendifferenz

führt dies zu

.

Die Interferenzmaxima folgen aus

,

also: