3.3 Huygens-Prinzip

In drei Dimensionen könnte entsprechend mit einer Lochblende ein Punkt der Wellenfläche einer ebenen Welle ausgeblendet werden, von dem sich dann eine Kugelwelle ausbreiten würde.

Huygens'sches Prinzip: Jeder Punkt einer Wellenfläche kann als Ausgangspunkt einer sogenannten Elementarwelle angesehen werden, die sich mit gleicher Phasengeschwindigkeit und Wellenlänge wie die ursprüngliche Welle ausbreitet. Jede Wellenfläche kann als Einhüllende von Elementarwellen aufgefasst werden. (Christian Huygens (1629 – 1695), in seinem „Traité de la Lumière“ (1678))

Huygens war Holländer. Sein Name wird leider meistens falsch ausgesprochen. Die korrekte Aussprache können Sie sich hier anhören.

2. Wie lineare Wellen werden auch zwei- oder dreidimensionale Wellen reflektiert, wenn sie auf ein Hindernis treffen. In der Abbildung laufen gerade Wellen in der Wellenwanne von links auf ein Hindernis zu. Das Hindernis bildet mit den Wellenfronten einen Winkel von 45°. Die Wellenfronten der reflektierten geraden Welle stehen daher senkrecht zu den Wellenfrontn der einlaufenden Welle.

Diese Reflexion lässt sich mit der Theorie der Elementarwellen beschreiben.
 

(1) Es werden zwei Punkte A und B auf einer Wellenfläche betrachtet. (2) Der Punkt A trifft im Punkt A1 auf das reflektierende Hindernis und lässt dort eine Elementarwelle entstehen.
(3) Der Punkt B1 benötigt noch die Zeit  zum Durchlaufen der Strecke , bis er in B2 auf das reflektierende Hindernis trifft. Mit der Phasengeschwindigkeit c der Welle gilt . (4) In der Zeit  hat sich die von A1 ausgehende Elementarwelle um ausgebreitet.

(5) Von B₂ aus wird die Tangente an den Kreis mit Mittelpunkt A₁ gelegt. Sie berührt den Kreis im Punkt A₂ und ergibt die Einhüllende aller Elementarwellen, die von den Punkten zwischen A₁ und B₂ in der Zeit  ausgegangen sind.

(6) Als Einfallswinkel  wird der Winkel bezeichnet, den die Wellenstrahlen der einlaufenden Welle mit dem Lot auf dem Hindernis einschließen. Entsprechend ist der Reflexionswinkel  der Winkel zwischen dem Lot und den Wellenstrahlen der reflektierten Welle. Der Zeichnung ist zu entnehmen, dass die Dreiecke A₁B₂B₁ und A₁B₂A₂ übereinstimmen in der Seite A₁B₂, den Seiten A₁A₂ und B₁B₂, sowie den Winkeln bei B₁ bzw. A₂. Nach dem Kongruenzsatz SSW_g sind die Dreiecke also kongruent. Damit ergibt sich das Reflexionsgesetz:

3. In einer Wellenwanne wird durch eine auf den Boden der Wanne gelegte Glasplatte die Wassertiefe teilweise verringert. Im Bild ist der Bereich mit geringerer Wassertiefe rechts unten.

Es ist zu beobachten, dass die einlaufenden geraden Wellen an der Grenze der unterschiedlichen Wassertiefen eine plötzliche Richtungsänderung erfahren. Diese Erscheinung wird Brechung genannt. Gleichzeitig ist zu sehen, dass die Wellenlänge  über der Glasplatte kleiner als im tieferen Wasser ist. Da die Frequenz in jedem Punkt der Wasseroberfläche aber gleich geblieben ist, muss wegen  die Ausbreitungsgeschwindigkeit c abgenommen haben: In flachem Wasser ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner als in tiefem Wasser.

Auch die Brechung lässt sich mit der Theorie der Elementarwellen beschreiben.
 

(1) Ein Punkt der Wellenfläche der aus dem Medium 1 einlaufenden Welle trifft in A1 auf die Grenze der beiden Gebiete mit unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten. Von diesem Punkt breitet sich nun eine Elementarwelle in das Medium 2 aus. (Die sich in das Medium 1 ausbreitende reflektierte Welle soll hier nicht betrachtet werden.) (2) Der Punkt B1,der auf derselben Wellenfläche wie A1 liegt, läuft noch während der Zeit  im Medium 1 und legt die Strecke zurück.

(3) In dieser Zeit legt die von A₁ ausgehende Elementarwelle im Medium 2 die Strecke  zurück.

(4) Von B₂ aus wird die Tangente an den Kreis mit Mittelpunkt A₁ gelegt. Sie berührt den Kreis im Punkt A₂ und ergibt die Einhüllende aller Elementarwellen, die von den Punkten zwischen A₁ und B₂ in der Zeit  ausgegangen sind.

(5) Als Einfallswinkel  wird der Winkel bezeichnet, den die Wellenstrahlen der einlaufenden Welle mit dem Lot auf dem Hindernis einschließen. Entsprechend ist der Brechungswinkel  der Winkel zwischen dem Lot und den Wellenstrahlen der gebrochenen Welle. Der Zeichnung sind folgende Beziehungen zu entnehmen:

Damit ergibt sich das Brechungsgesetz:

4. In einer Wellenwanne werden gerade Wellen erzeugt. Den Wellen werden verschiedene Hindernisse in den Weg gestellt, die über den Wasserspiegel hinausragen.
 

Kante	Spalt	zum Spalt komplementäres Hindernis

Es ist auch im Schattenraum der Hindernisse eine schwache Wellenbewegung zu beobachten. Man spricht von der Beugung der Wellen um ein Hindernis oder an einem Spalt.

Verkleinert man den Spalt der mittleren Abbildung, so entsteht hinter dem Spalt ein Wellenfeld mit deutlichen Maxima und Minima.

Ist der Spalt klein im Vergleich zur Wellenlänge, so wirkt er wie ein punktförmiger Erreger. Der Spalt ist dann Ausgangspunkt einer Elementarwelle.

5. Zur rechnerischen Beschreibung der Beugung am Spalt wird die Intensität der gebeugten Welle untersucht. Folgende Voraussetzungen werden gemacht (Fraunhofer'sche Beugung):

• die einfallende Welle ist eine ebene Welle;
• die Beugungsverteilung wird in einer Entfernung vom Spalt beobachtet, die sehr groß gegen die Breite des Spaltes ist.

In der Zeichnung sind zwei Wellenstrahlen der von zwei Orten 0 und x auf der Spaltöffnung ausgehenden Elementarwellen eingetragen. Diese erscheinen wegen der großen Entfernung des Punktes P, in dem sie interferieren, parallel. Sie bilden mit der Geradeaus-Richtung, die durch die Senkrechte auf dem Spalt gegeben ist, den Beobachtungswinkel .

Der Gangunterschied der beiden Elementarwellen lässt sich aus der Zeichnung ablesen:

Die Gleichung der von x ausgehenden Elementarwelle lautet

Dabei ist  die Kreisfrequenz und  die sogenannte Wellenzahl.

Mit obigem Ausdruck für den Abstand r ergibt sich:

Im Punkt P des Wellenfeldes interferieren alle von x = –d/2 bis x = d/2 ausgehenden Elementarwellen:

Unter Benutzung des Additionstheorems

wird daraus

Einsetzen von :

Die Amplitude der resultierenden Welle in P ist also

Die Intensität ist proportional zum Quadrat der Amplitude:

Die Bedeutung der Proportionalitätskonstanten I₀ ergibt sich aus dem Grenzwert . Mit dem Grenzwert

folgt

I₀ ist also die Intensität in ungebeugter Beobachtungsrichtung (Hauptmaximum).

Wird noch die Wellenzahl  eingesetzt, ergibt sich schließlich für die Intensitätsverteilung bei der Beugung am Spalt:

Der Graph dieser Verteilung lässt erkennen, dass ein prominentes Hauptmaximum in Richtung  vorliegt und weitere, sehr schwache Nebenmaxima. Je zwei aufeinanderfolgende Maxima sind durch Interferenzminima getrennt.

Die Interferenzminima ergeben sich aus den Nullstellen der Intensität:

Für die Winkel, unter denen Interferenzminima zu beobachten sind, gilt also

Für die Nebenmaxima erhält man