Um 150 nach Christus erklärte Claudius Ptolemäus die unregelmäßige Planetenbewegung mit einem geozentrischen Weltsystem. In diesem ist die Erde der Mittelpunkt der Welt, und die Planeten führen eine komplizierte Bewegung aus: Sie bewegen sich auf Kreisen, deren Mittelpunkte sich wiederum auf Kreisen bewegen.
Fast 1400 Jahre später entwickelte Nikolaus Kopernikus das heliozentrische Weltsystem. Hierin bildet die Sonne den Mittelpunkt der Welt. Der Vorteil dieses Systems ist, dass sich die Planeten auf einfachen Kreisbahnen bewegen. Allerdings stand die Ansicht, dass die Erde nicht der Mittelpunkt der Welt sei, im Widerspruch zu Dogmen der katholischen Kirche – und an der Machtposition der Kirche zu rütteln war nicht gerade ungefährlich. Kopernikus wartete mit der Veröffentlichung seiner Erkenntnisse deshalb, bis er 1543 seinen Tod nahen fühlte. Vor allem Galileo Galilei setzte sich stark für das heliozentrische Weltsystem ein. Er wurde 1616 von der Inquisition unter Androhung der Folter zum Widerruf gezwungen.
Mathematischer Einschub
Bei der Beschreibung von Planetenbewegung – oder allgemeiner: der Bewegung
eines Trabanten um einen Zentralkörper – wird immer wieder die Ellipse
benötigt. Es sollen daher zunächst die wichtigsten Eigenschaften
dieser Kurve zusammengestellt werden.
| Definition: Eine Ellipse
ist die Menge aller Punkte P, für die die Summe der Abstände
von zwei
festen Punkten F1 und F2 konstant ist:  |
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Bezeichnungen: F1, F2: Brennpunkte, H1, H2: Hauptscheitel, N1, N2: Nebenscheitel, M: Mittelpunkt,
a: große Halbachse
b: kleine Halbachse
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Wird speziell P = H2 betrachtet, so ergibt sich
.
Für P = N1 ist
,
also
.
Aus dem Dreieck F1MN1 ist abzulesen:
.
Eine Beschreibung von Ellipsen durch Gleichungen finden Sie hier:
Mit der folgenden Excel-Datei können Ellipsen dargestellt werden. Wenn Sie auf Ihrem Computer Excel installiert haben, können Sie diese Datei speichern und ausführen oder auch online ausführen. Klicken Sie dazu auf den folgenden Screenshot.
| Erstes Kepler-Gesetz: Die Planetenbahnen sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. | |
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Zweites Kepler-Gesetz: Der von der Sonne nach einem Planeten gezogene „Fahrstrahl“ überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
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Drittes Kepler-Gesetz: Die Quadrate der Umlaufdauern T1 und T2 zweier Planeten um die Sonne verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen a1 und a2:
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Die folgende Tabelle listet die Bahndaten der Planeten unseres Sonnensystems auf.
Die Abweichungen der Ellipsenbahnen von einer Kreisbahn sind also nur gering. Es wird im Folgenden daher näherungsweise eine gleichförmige Kreisbewegung der Planeten um die Sonne angenommen. Die Kepler-Gesetze gehen dann in folgende Aussagen über:
1. Die Planetenbahnen sind Kreise, in deren Mittelpunkt die Sonne steht.
2. Die Kreisbewegung hat konstante Winkelgeschwindigkeit.
3. Die Quadrate der Umlaufdauern T1 und T2 zweier Planeten um die Sonne verhalten sich wie die dritten Potenzen der Bahnradien r1 und r2:
Die Kepler-Gesetze gelten nicht nur für die Planeten und ihre Bahn um die Sonne. Sie beschreiben allgemeiner die Bewegung von Trabanten um einen Zentralkörper, wie z.B. die Bewegung von Monden um Planeten oder von Satelliten um die Erde. Als Beispiel werden hier die Bahndaten der vier größten Jupitermonde betrachtet.
Die Kepler-Gesetze stellen lediglich eine Beschreibung der Bewegung der Planeten dar. Sie machen keine Aussagen über die Kräfte, die diese Bewegungen verursachen. Erst Isaac Newton erkannte 1666, dass die Zentripetalkraft, die einen Trabanten auf eine Kreisbahn um einen Zentralkörper zwingt, die gleiche Kraft ist, die auch beim freien Fall auf der Erde wirksam wird. Es handelt sich um die Gravitationskraft.
Das Gravitationsgesetz soll hier unter folgenden vereinfachenden Voraussetzungen hergeleitet werden:
1. Die Trabantenbahn ist eine Kreisbahn.
2. Die Masse M des Zentralkörpers ist sehr groß gegen die Masse m des Trabanten, so dass die Schwerpunktbewegung des Systems vernachlässigt werden kann. Anders ausgedrückt: der Zentralkörper befindet sich in Ruhe.
Die Gravitationskraft ist die Zentripetalkraft der Kreisbewegung:
Erweitern mit r2 führt auf
.
C ist die Konstante aus dem 3. Kepler-Gesetz. Es lässt sich erkennen, dass die Gravitationskraft proportional zur Masse m des Trabanten und umgekehrt proportional zum Quadrat des Bahnradius ist. Anders formuliert: Die Gravitationskraft nimmt quadratisch mit dem Abstand vom Zentralkörper ab.
Nach dem dritten Newton-Gesetz (Wechselwirkungsprinzip) muss der Trabant eine gleich große Kraft auf den Zentralkörper ausüben wie dieser auf ihn. Die Gravitationskraft muss daher auch proportional zur Masse M des Zentralkörpers sein:
.
Für die allgemeine Anziehung zweier Massen lautet also das Gravitationsgesetz
.
Die Proportionalitätskonstante heißt Gravitationskonstante. Sie wurde erstmals 1798 vom englischen Chemiker und Physiker Henry Cavendish gemessen. Ihr Wert ist
.
Der Radius der Erde beträgt R = 6370 km. Die Gravitationskraft Fgr, die auf einen Körper der Masse m auf der Erdoberfläche wirkt, ist die vertraute Gewichtskraft des Körpers:
.
Aufgelöst nach der Erdmasse ME:
.
Die für die Kreisbewegung des Satelliten nötige Zentripetalkraft wird von der Gravitationskraft geliefert:
.
a) Wenn die Umlaufdauer bekannt ist, kann der nötige Bahnradius ermittelt werden. Beispiel: Ein sogenannter geostationärer Satellit befindet sich stets über demselben Punkt der Erdoberfläche. Er dreht sich also genauso schnell wie die Erde, d.h. es ist T = 24 h. Dazu muss er den Bahnradius
besitzen, sich also in der Höhe
über
der Erdoberfläche befinden.
b) Bei bekanntem Bahnradius lässt sich die Umlaufdauer vorausberechnen:
.
Beispiel: Für eine Satellitenbahn in h = 500 km Höhe
über der Erdoberfläche ist
.
Die Umlaufdauer beträgt dann
.
Sind Bahnradius r und Umlaufdauer T eines Trabanten bekannt, so lässt sich aus dem Ansatz
die Masse M des Zentralkörpers bestimmen:
.
Mit den Bahndaten der Erde
ergibt
sich die Sonnenmasse MS:
.
Für den Jupitermond Io ist
.
Daraus ergibt sich die Jupitermasse
.
Dies ist etwa das 318-fache der Erdmasse.
Mit dem in Abschnitt 3 (Grundgleichung der Mechanik) beschriebenen einfachen Euler-Verfahren kann die Bewegung eines Satelliten bzw. eines Planeten um einen Zentralkörper numerisch berechnet werden.
Die Bewegung des Satelliten wird in ihre x- und y-Komponente zerlegt.
Für die Komponenten der Gravitationskraft ist abzulesen:
.
Damit ergeben sich die Beschleunigungen:
.
Für die schrittweise Berechnung der Bahn werden Startwerte für den Zeitpunkt t = 0 benötigt:
.
Mit diesen werden zunächst die Beschleunigungen berechnet:
.
Ausgehend von diesen Startwerten wird immer einen Zeitschritt weiter gerechnet:
Die folgende Excel-Datei führt diese Berechnungen aus. Wenn Sie auf Ihrem Computer Excel installiert haben, können Sie diese Datei speichern und ausführen oder auch online ausführen. Klicken Sie dazu auf den folgenden Screenshot.
Beispiel: Bewegung eines Satelliten um die Erde
Hier ist 
.
Für einen geostationären Satelliten (T = 24 h) wurde oben
der Bahnradius
ermittelt.
Die Bahngeschwindigkeit beträgt
.
Startwerte für die Rechnung:
Damit ergibt sich die erwartete Kreisbahn.
Vorschläge für andere Startwerte:
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Die folgende Abbildung zeigt eine elliptische Bahn des Satelliten um die Erde.
Wenn der Satellit sich in der Nähe der Erde befindet, ist der Abstand
von je zwei aufeinanderfolgenden Punkten der berechneten Bahn größer
als in größerer Entfernung von der Erde. Da zwischen zwei Punkten
jeweils das gleiche Zeitintervall
verstrichen
ist bedeutet dies, dass die Bahngeschwindigkeit in Erdnähe größer
ist als bei Erdferne. Am größten ist die Geschwindigkeit im
erdnächsten Punkt (Perihel), am kleinsten im erdfernsten Punkt (Aphel).
Dies lässt sich verstehen, wenn man die Gravitationskraft in eine Komponente tangential zur Bahn und eine Komponente senkrecht zur Bahn zerlegt.
Die Gravitationskraft ist zu jedem Zeitpunkt der Bewegung auf den Zentralkörper gerichtet. Sie wird daher als Zentralkraft bezeichnet.
Für eine Kreisbahn mit a1 = r1 und eine elliptische Bahn eines Trabanten um einen Zentralkörper gilt nach dem 3. Kepler-Gesetz
.
Wenn der Radius der Kreisbahn so groß ist wie die große Halbachse der Ellipse ist, also r1 = a2, dann ist
.
Die Umlaufdauer T bei einer Kepler-Ellipse ist also genauso groß wie bei einer Kreisbahn mit einem Radius, der so groß ist wie die große Halbachse der Ellipse.
Sind M und a bekannt, dann ergibt sich daher aus dem Ansatz für Kreisbahnen
die Umlaufdauer auf der Ellipse, wenn r = a gesetzt wird:
.
Übungen
S.110, A2, A4
S.115, A2, A3 (Hinweis: Wenden Sie das zweite Kepler-Gesetz an.), A4, A5, A6, A7
An jedem Punkt des Raumes in der Umgebung einer Masse M erfährt
eine zweite Masse m eine Gravitationskraft Fgr.
Ein Raum, in dem solche Kraftwirkungen auftreten, wird ein
Gravitationsfeld
genannt. Es wird durch Feldlinien dargestellt.
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In kleinen Bereichen in der Nähe der Erdoberfläche liegt ein homogenes Gravitationsfeld vor: Die Gravitationskraft auf einen Körper der Masse m ist überall gleich  und
die Fallwege fallender Körper sind parallel zu einander. Entsprechend
wird das homogene Feld durch parallele Feldlinien mit konstantem Abstand
dargestellt. |
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In größerer Entfernung von der Erdoberfläche nimmt die Gravitationskraft mit dem Quadrat des Abstandes ab. Körper, die von der Erde angezogen werden, bewegen sich in radialer Richtung auf diese zu. Ein Gravitationsfeld wie das der Erde wird daher als ein radiales Gravitationsfeld bezeichnet. Seine Feldlinien verlaufen radial. |
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Die Kraft, die ein Körper in einem Gravitationsfeld erfährt, hängt natürlich von seiner Masse m ab. Der Quotient Fgr/m ist dagegen unabhängig von der Masse des „Probekörpers“ und beschreibt eine Eigenschaft des Gravitationsfeldes selbst. Diese Eigenschaft wird Feldstärke a genannt und hat die Bedeutung einer Beschleunigung.
homogenes Feld:
radiales Feld: 
Darstellung der Gravitationsfeldstärke der Erde:
Es sei R der Erdradius und M die Erdmasse. An der Erdoberfläche ist
.
Damit lässt sich die Gravitationsfeldstärke schreiben als
.
Die Gravitationsfeldstärke des radialen Feldes ist stets zum Mittelpunkt des Zentralkörpers gerichtet. Das radiale Feld wird daher auch durch Vektoren (Pfeile) dargestellt, die von einem Punkt des Raumes zum Mittelpunkt des Zentralkörpers zeigen und deren Länge der Feldstärke in diesem Raumpunkt entspricht.
Im homogenen Gravitationsfeld, wie es in kleinen Bereichen in der Nähe
der Erdoberfläche vorliegt, hat ein Körper der Masse m
die potentielle Energie (Höhenenergie)
.
Soll er aus einer Höhe h1 in eine Höhe h2
gehoben werden, muss eine Hubarbeit verrichtet werden, die der Zunahme
an potentieller Energie entspricht:
.
In einem Weg-Kraft-Diagramm entspricht diese Arbeit (bzw. Energie) der Fläche unter dem Weg-Kraft-Graphen.
Beim radialen Feld ist die aufzuwendende Kraft beim Heben eines Körpers von einem Anfangspunkt P0 zu einem Zielpunkt PZ nicht mehr konstant. Zunächst soll der Körper längs einer Feldlinie gehoben werden.Die Grundidee zur Berechnung der Arbeit als Fläche unterhalb des Weg-Kraft-Graphen ist dann folgende.
Der Abstand des Startpunktes vom Mittelpunkt des Zentralkörpers
ist
r0, der Abstand des Zielpunktes ist rZ.
Nun wird das Intervall von r0 bis rZ
in so kleine Teilbereiche der Breite
geteilt,
dass in diesen die Gravitationskraft näherungsweise als konstant betrachtet
werden kann. Die in einem solchen Teilintervall verrichtete Arbeit ist
dann ungefähr
,
was der Fläche eines Rechteckstreifens entspricht. Wenn n die
Anzahl solcher Rechteckstreifen ist, dann ergibt sich für die insgesamt
verrichtete Hubarbeit und damit für die Zunahme an potentieller Energie
.
Je schmaler die Rechteckstreifen gemacht werden, desto besser wird die
eigentlich gesuchte Fläche unter dem Weg-Kraft-Graphen angenähert.
Im Grenzfall für
,
oder (was dasselbe bedeutet)
ergibt
sich das Integral
Die zugeführte Energie und damit die Zunahme der potentiellen Energie ist also
.
|
Wird der Körper längs eines beliebigen Weges gehoben, so kann der Weg in Teilstücke  in
Feldlinienrichtung und in Bogenstücke quer
dazu zerlegt werden. Auf diesen Querstücken stehen Kraft und Weg senkrecht
aufeinander, d.h. es wird keine Arbeit verrichtet. Da also nur die radialen
Wegstücke beitragen, ergibt sich wie oben
|
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Da die Gravitationskraft auf einen Probekörper im Feld eines Zentralkörpers
in sehr großer Entfernung („im Unendlichen“) Null wird, wird das
Nullniveau für die potentielle Energie ins Unendliche gelegt:
.
Um einen Körper vom Startpunkt P0 ins Unendliche zu heben,
ist also die Arbeit
nötig. Dies ist gleich der Differenz der potentiellen Energien:
.
Damit wird die potentielle Energie im Gravitationsfeld negativ:
.
Wird die potentielle Energie durch die Masse m des Probekörpers dividiert, so erhält man wieder eine Größe, die nur das Gravitationsfeld beschreibt, das sogenannte Gravitationspotential :
.
Darstellung des Gravitationspotentials der Erde:
Es sei R der Erdradius und M die Erdmasse. An der Erdoberfläche
ist
.
Damit lässt sich das Gravitationspotential schreiben als
.
Hubarbeit und Potentialdifferenz:
Um einen Körper der Masse m „unendlich“ weit von der Erdoberfläche zu entfernen, muss ihm die Energie
(M: Erdmasse; rE: Erdradius) zugeführt werden. Wird ihm diese Energie in Form von kinetischer Energie beim Abschuss von der Erdoberfläche zugeführt, dann gilt
.
Daraus ergibt sich die nötige Anfangsgeschwindigkeit, die als Fluchtgeschwindigkeit bezeichnet wird:
.
Die Fluchtgeschwindigkeit hängt nicht von der Masse des abgeschossenen Körpers ab, sondern nur von Masse und Radius der Erde. Für andere Himmelskörper gilt dieselbe Überlegung wie für die Erde, so dass die Fluchtgeschwindigkeit eine charakteristische Größe eines Himmelskörpers ist.
Die Fluchtgeschwindigkeit ist auch maßgeblich dafür, ob ein Planet eine Atmosphäre besitzen und wie dicht diese sein kann. Gasmoleküle, deren Geschwindigkeit größer als die Fluchtgeschwindigkeit ist, verlassen den Planeten.
Die Gesamtenergie auf einer Kreisbahn um einen Zentralkörper setzt sich aus potentieller und kinetischer Energie zusammen:
.
Bei der Kreisbewegung gilt
.
Eingesetzt in die Beziehung für die Gesamtenergie:
.
Die Gesamtenergie ist also negativ:
.
Übungen
S.122, A2, A3, A4
Weitere Übungen
1. Die Schwerpunkte von zwei Schiffen, von denen jedes die Masse m = 20 000 t hat, haben den Abstand r = 100 m. Die Schiffe werden näherungsweise als Massenpunkte betrachtet. Wie groß ist die Kraft, mit der sie sich gegenseitig anziehen?
2. Eine Bleikugel (Masse m1) wird an einen
Arm einer Waage angehängt und austariert. Der Radius der Kugel ist
r1
= 1,0 cm. Vertikal unter diese erste Bleikugel wird eine zweite Bleikugel
(Masse m2) gelegt. Der Radius der zweiten Kugel ist r2
= 50 cm. Der Abstand zwischen den beiden Kugeloberflächen beträgt
s
= 1 cm.
Durch die Kugel 2 nimmt die Kraft zu, mit der die Kugel 1 an ihrer
Aufhängung zieht. Wieviel Prozent ihrer Gewichtskraft FG1
beträgt diese Zunahme? (Dichte von Blei: r
= 11,3 g/cm3)
3. a) Setzen Sie die Gewichtskraft eines Körpers an der Erdoberfläche der Gravitationskraft gleich und zeigen Sie so, dass gilt:
;
rE:
Erdradius, mE: Erdmasse
b) Berechnen Sie ohne Verwendung der Gravitationskonstante die Gewichtskraft eines Körpers der Masse m = 1 kg für die Höhe h = 100 km über der Erdoberfläche. (rE = 6370 km)
4. Ein Satellit kreist in der Äquatorebene um die Erde. Seine Umlaufzeit T stimmt mit der Umdrehungszeit der Erde überein. Berechnen Sie ohne Verwendung der Gravitationskonstante den Radius r der Kresibahn des Satelliten. (rE = 6370 km; T = 86 164 s)
5. Mit welcher Anfangsgeschwindigkeit v0 muss ein Körper von der Erdoberfläche vertikal nach oben geschossen werden, wenn er die Höhe h = rE = 6370 km erreichen soll? Rechnen Sie ohne Verwendung der Gravitationskonstante. Der Luftwiderstand soll vernachlässigt werden.
6. Ein Körper der Masse m = 1 kg soll von der Oberfläche
der ruhend zu denkenden Erde in eine Höhe h = 400 km gebracht
werden. Berechnen Sie die aufzuwendende Arbeit ohne Verwendung der Gravitationskonstante
a) unter der vereinfachenden Annahme, dass die Gravitationskraft konstant
ist,
b) unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Gravitationskraft
mit der Höhe abnimmt.
c) Um wieviel Prozent weicht der wahre Wert vom Näherungswert
ab?
(rE = 6370 km)
7. Welche Arbeit ist erforderlich, um einen Körper der Masse
m
= 1 kg von der Erdoberfläche aus dem Anziehungsbeeich der Erde zu
entfernen? Mit welcher Geschwindigkeit müsste der Körper abgeschossen
werden, um ihm diese Arbeit als kinetische Energie mitzugeben?
(
)
8. a) Wieviel Prozent vom Gravitationspotential der Erde beträgt
das Gravitationspotential des Mondes an der Erdoberfläche?
(mE = 81 mM ; Abstand Erdmittelpunkt
– Mondmittelpunkt: d = 60 rE ; rE:
Erdradius)
b) Wieviel Prozent vom Gravitationspotential des Mondes beträgt
das Gravitationspotential der Erde an der Mondoberfläche?
(Abstand Erdmittelpunkt – Mondmittelpunkt: d = 220 rM
; rM: Mondradius)
9. Ein Satellit bewegt sich auf einer Kreisbahn um die Erde.
Sein Abstand von der Erdoberfläche ist h = 10 000 km.
a) Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit v des Satelliten?
b) Berechnen Sie die Umlaufzeit des Satelliten.
Lösungen
1. 2,67 N
2. 
3. b) FG = 9,51 N
4. r = 42 100 km
5. Energieerhaltung führt auf 
6. a) W1 = 3,92 MJ
b) W2 = 3,69 MJ
c) DW = 5,91%
7.
v = 11,2 km/s
8. a) 0,02%
b) 37%
9. a) v = 4,94 km/s
b) T = 348 min
.