Geometrie 2: Trigonometrie
1. Die Winkelfunktionen
1.1 Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck
Bei Vermessungsaufgaben treten oft Dreiecke auf.
| Beispiel 1: Bestimmung der Breite eines Flusses
Zuerst wird eine Standlinie s abgesteckt. Von s aus wird ein markanter
Punkt C auf dem gegenüberliegenden Ufer unter dem Winkel a = 90°
zur Standlinie angepeilt und so der Punkt A festgelegt. Von einem weiteren
Punkt B auf der Standlinie wird wieder C angepeilt und der Winkel b sowie
die Länge der Strecke AB gemessen. Mit diesen Daten kann jetzt ein
maßstabsgerechtes Dreieck gezeichnet und die Flussbreite b näherungsweise
bestimmt werden. |
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| Beispiel 2: Höhenbestimmung
Die Standlinie wird rechtwinklig zur zu bestimmenden Höhe gezogen.
Von einem Punkt A der Standlinie aus wird der höchste Punkt C unter
einem Winkel a angepeilt und die Länge der Strecke AB gemessen. Damit
kann wieder ein maßstabsgerechtes Dreieck gezeichnet und die Höhe
a näherungsweise bestimmt werden. |
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Die Methode, maßstabsgerechte Dreiecke zu zeichnen, ist natürlich
ungenau. Besser wäre es, wenn die auftretenden Dreiecke berechnet
werden könnten. In den bisher bekannten Sätzen über rechtwinklige
Dreiecke (Pythagoras, Höhen- und Kathetensatz) treten jedoch keine
Winkel auf. Der zeichnerische Ansatz führt aber auf folgende Idee.
Ein rechtwinkliges Dreieck ABC wird unter Beibehaltung der Winkelgrößen
vergrößert (Dreieck AB2C2) bzw. verkleinert
(Dreieck AB1C1):
Die Dreiecke bilden eine Strahlensatzfigur. Es ist abzulesen:
Folgende Bezeichnungen sind gebräuchlich:
Mit diesen Bezeichnungen lassen sich die an der Strahlensatzfigur abgelesenen
Verhältnisse wie folgt formulieren:
Bei festen Winkeln a und b
gilt unabhängig von der Größe des Dreiecks
(1) Das Verhältnis
hat
für einen festen Winkel stets den gleichen Wert.
(2) Das Verhältnis
hat
für einen festen Winkel stets den gleichen Wert.
(3) Das Verhältnis
hat
für einen festen Winkel stets den gleichen Wert.
Jedem Winkel zwischen 0° und 90° wird unabhängig von der
Größe des rechtwinkligen Dreiecks durch eines dieser drei Verhältnisse
jeweils genau eine reelle Zahl zugeordnet. Diese Zuordnungen heißen
Winkelfunktionen (oder trigonometrische Funktionen) und werden wie folgt
bezeichnet (G: Gegenkathete, A: Ankathete, H: Hypotenuse):
| Sinus von a: |
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Sinus von b: |
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| Kosinus von a: |
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Kosinus von b: |
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| Tangens von a: |
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Tangens von b: |
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(Gelegentlich wird noch eine vierte Winkelfunktion angegeben: der Kotangens
eines Winkels ist definiert als der Kehrwert des Tangens. Bezeichnung:
cot(a) = 1 / tan(a))
Der Vergleich zeigt: Im rechtwinkligen Dreieck gilt
.
Das folgende Applet illustriert die hier gegebenen Definitionen:
Winkelfunktionen
am rechtwinkligen Dreieck
| Die Funktionswerte der Winkelfunktionen lassen sich z.B.
zeichnerisch bestimmen. Dazu wird ein Einheitskreis (Kreis mit Radius 1)
gezeichnet und von einem Punkt P auf dem Kreisbogen im 1. Quadranten das
Lot auf die x-Achse gefällt. Dann gilt:
Die durch den Punkt E = (1 ; 0) verlaufende Senkrechte zur x-Achse
schneidet die Verlängerung des Radius MP im Punkt S. Der 2. Strahlensatz
liefert die Beziehung
also:
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Es ergeben sich die folgenden Graphen der Winkelfunktionen:
| Für spezielle Winkel lassen
sich die Winkelfunktionswerte leicht berechnen. So gilt im gleichschenklig-rechtwinkligen
Dreieck: |
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| Im gleichseitigen Dreieck lassen
sich folgende Werte ermitteln: |
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zusammengefasst:
Die Funktionswerte für beliebige Winkel bestimmt man zweckmäßig
mit dem Taschenrechner. Zu beachten ist dabei die Einstellung für
das Winkelmaß. Werden die Winkel in Grad ( °) angegeben, so muss
der Taschenrechner in den Modus DEG (oder D) eingestellt werden. (Es gibt
außer dem Gradmaß auch noch andere Winkelmaße, z.B. das
Bogenmaß, das später erläutert wird.)
Die einführenden Beispiele können jetzt rechnerisch bearbeitet
werden.
Mit dem folgenden Link kommen Sie zu einem interaktiven Test.
Test:
Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck
.
Gesucht sind a, c.
