1. Ableitung einer Funktion

Steigung

Bei vielen Funktionen, die in praktischen Anwendungen auftreten, interessiert es nicht nur, welche Werte eine Funktion f annimmt, sondern auch, wie rasch bzw. stark die Funktionswerte y = f (x) zu- oder abnehmen.

Beispiel: Eine Konservendose lässt sich als ein Zylinder auffassen.
 

Bei einem Zylinder gelten folgende Beziehungen: 

Volumen: 

Mantelfläche: 

Oberfläche: 

Wenn das Volumen festliegt, dann kann die erste Gleichung benutzt werden, um die Höhe h durch das Volumen V auszudrücken:

Wird diese Beziehung in die Gleichung für die Oberfläche eingesetzt, so ergibt sich ein Term für O, der nur noch vom Radius r abhängt:

Eine zylinderförmige Konservendose mit dem Volumen V = 1 l = 1 dm³ hat also die Oberfläche

Je nach Wahl des Radius r ergibt sich ein anderer Wert für die Oberfläche O, und damit ein anderer Materialverbrauch bei der Herstellung einer solchen Dose.
 

Der Graph der Oberflächenfunktion zeigt: 

Wird der Radius von kleinen Werten ausgehend größer, so nimmt die Größe der Oberfläche – und damit der Materialverbrauch – rasch ab. Bei einem bestimmten Wert des Radius (in der Nähe von 5 cm) ergibt sich eine minimale Oberfläche. Wird der Radius dann weiter größer, so wächst die Oberfläche stark an.


Der Graph einer Funktion lässt das Wachstum einer Funktion anschaulich überblicken. Ist der Graph steil (wie in P), so wächst f(x) rasch (mit wachsendem x), ist er weniger steil (wie in Q), so wächst f(x) langsamer.

Bei einer Geraden wird die Steilheit durch die konstante Steigunggemessen.

Bei einem gekrümmten Graphen ist die Steilheit in einem Punkt P zunächst nicht definiert. Es liegt nahe, P mit einem Nachbarpunkt Q auf dem Graphen geradlinig zu verbinden. Die Steigung der Sekante PQ kann man dann als mittlere Steigung des Graphenstücks PQ bezeichnen. Hält man nun den Punkt P fest und lässt Q immer näher an P heranrücken, so dreht sich die Sekante um P und nähert sich (bei vielen Funktionen) immer mehr einer Grenzgeraden t.

Der Graph einer Funktion f besitze keine „Knicke“ oder „Sprünge“. Rückt der beliebige Punkt Q auf dem Graphen von links oder rechts gegen P und strebt dabei die Sekante PQ gegen eine gemeinsame Grenzlage, eine Gerade t , so nennt man t die Tangente des Graphen im Punkt P. 
 Unter der Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt P versteht man die Steigung der Tangente in P.

Berechnung der Steigung in einem Punkt P

Es sei f eine Funktion, deren Graph im Intervall [a;b] keine „Knicke“ und „Sprünge“ besitzt.Weiter sei P(x0 ;f(x0)) ein beliebiger Punkt des Funktionsgraphen mit a < x0 < b. Von der Stelle x0 aus wird um einen Wert h weiter gegangen. Zur Stelle x0 +h mit a < x0 + h < b gehört der Punkt Q(x0 + h ; f(x0 + h)). Wenn h nicht Null ist, dann gilt für die Steigung der Sekante:

Im Zähler steht die Differenz der Funktionswerte f(x0 + h) und f(x0), im Nenner die Differenz (x0 + h) -  x0 = h. Daher wird m(x0;h) auch als Differenzenquotient bezeichnet.

Strebt Q längs des Graphen gegen P, so strebt h gegen 0. Wenn unabhängig davon, ob man sich der Zahl x0 „von rechts“ oder „von links“ nähert, der Differenzenquotient m(x0;h) sich einer bestimmten Zahl nähert, dann spricht man von einem „Grenzwert“, einem „Limes“. Dafür wird geschrieben:

(gelesen: „Limes von m(x0;h) für h gegen 0“).

Beispiel:

Der berechnete Grenzwert ist aus dem Funktionstermzur Funktion f abgeleitet worden, und zwar zur Stelle x0 = 1. Man nennt diesen Grenzwert daher auch die „Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 = 1“ ; Schreibweise: , gelesen: „ f Strich an der Stelle 1“ oder kurz „ f Strich von 1“.

Zusammengefasst:
 
1) Unter der „Ableitung einer Funktion f an einer Stelle“ versteht man den Grenzwert des Differenzenquotienten 

2) Falls die Ableitungexistiert, nennt man die Funktion f „differenzierbar an der Stelle x0“.

3) Den Wertordnet man dem Funktionsgraphen von f als Steigung im Punkt P(x0 ; f(x0)) zu.


Übungen

A) Übungen mit einem Java-Applet

Das folgende Java-Applet ermöglicht die Berechnung von Differenzenquotienten und das Zeichnen von Sekanten für die Funktion

f (x) = (1/4)x2.

Sie können die Stelle x und die Größe h eingeben. Mit einem Klick auf die Schaltfläche "OK" wird die Berechnung gestartet und die Sekante gezeichnet. Außerdem wird der Wert des Differenzenquotienten m(x0;h) angezeigt. Der kleinste zulässige Betrag für h ist 1*10-6. Werden kleinere Beträge eingegeben, setzt das Programm automatisch diesen Wert fest. Bei Eingabe von Dezimalzahlen ist ein Dezimalpunkt statt eines Kommas zu verwenden.

Schade - Ihr Browser kann kein Java.

Vorschläge für Übungsaufgaben zu diesem Applet:

(1) Setzen Sie zunächst x0 = 1.
    a) Setzen Sie h = 3;   2.5;   2; ...;   0.5;   0.2;
                            0.1;   0.01;   0.001;   0.0001;   0.00001;   0.000001.
        Welcher Grenzwert ist zu vermuten?
    b) Setzen Sie h = -2;   -1.5;   -1;   -0.5;   -0.2;
                            -0.1;   -0.01;   -0.001;   -0.0001;   -0.00001;   -0.000001.
        Vergleichen Sie den vermutlichen Grenzwert mit dem Ergebnis aus a).

(2) Setzen Sie nun x0 = -2.
    Wählen Sie h = 3;   2.5;   2; ...;   0.5;   0.2;
                            0.1;   0.01;   0.001;   0.0001;   0.00001;   0.000001.
    Welcher Grenzwert ist zu vermuten?

(3) Setzen Sie für x0 nacheinander -2;   -1;   0;   1;   2;   3;   4 ein.
    Wählen Sie zu jedem x0 einmal h = 0.000001 und einmal h = -0.000001.
    Notieren Sie sich zu jedem x0 den vermutlichen Grenzwert.
    Wie lautet vermutlich die Funktion, die jedem x0 den Wert der Ableitung f '(x0) zuordnet?

(4) Führen Sie die Berechnung der Ableitung gemäß der Definition durch:

.

    Falls Ihnen dies (noch) zu schwer erscheint, bearbeiten Sie erst die Übungen im folgenden Teil B.


B) Rechnungen "von Hand"

1. Von der Funktion f mitsoll an der Stelledie Ableitunggebildet werden. Dazu ist zunächst der Differenzenquotient zu bilden:

.

Daist, ist also zu bilden:

.

Führen Sie diesen Schritt aus:

Da am Ende der Grenzwertbestimmt werden soll, muss dieser Bruchterm so umgeformt werden, dass das h aus dem Nenner verschwindet.

Dazu muss hier zunächst eine binomische Formel angewendet werden:

Jetzt ist auszumultiplizieren und zusammenzufassen:

Wenn Sie alles richtig gemacht haben, können Sie jetzt h kürzen:

Da jetzt kein h im Nenner mehr vorhanden ist, können Sie den Grenzwert bilden:

.

Damit haben Sie die Ableitung von f an der Stelle:

.

(Lösung:)
 

2. Bestimmen Sie entsprechend

a) die Ableitung vonan der Stelle

(Lösung:)
b) die Ableitung vonan der Stelle
(Lösung:)
 

3. Vergessen Sie nicht, dass Sie verstehen sollten, was Sie bei diesen Rechnungen eigentlich tun.

a) Fertigen Sie eine Skizze an, die die Bedeutung des Differenzenquotienten

verdeutlicht.

b) Was bedeutet ein solcher Differenzenquotient geometrisch?

c) Machen Sie sich klar, was die Bildung des Grenzwertesanschaulich bedeutet.

d) Welche geometrische Bedeutung hat der Grenzwert?

e) In Übung 2 haben Sie berechnet:
    die Ableitung vonhat an der Stelleden Wert.
Im Unterricht hatten wir gefunden:
    die Ableitung vonhat an der Stelleden Wert.
Können Sie begründen, warum die Ableitungen der beiden Funktionen an dieser Stelle den gleichen Wert haben?


Der folgende Link führt auf eine Animation des Projektes

            mathe-online.

Flash-Animation: Die Ableitung als Grenzwert