| Mit 6m Maschendrahtzaun soll ein
Auslauf für Kaninchen abgegrenzt werden. Dabei wird eine Garagenwand
und ein Zaun mit ausgenutzt.
Wie sind die Abmessungen zu wählen, wenn die Auslauffläche möglichst groß sein soll? |
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| Zunächst werden passende Bezeichnungen
eingeführt.
Die gesamte Länge ist L = 6. Eine Seite des Auslaufs hat die unbekannte Länge x. Damit hat die andere Seite die Länge L - x. Der Flächeninhalt des Auslaufs ergibt sich damit zu |
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Die Definitionsmenge dieser Funktion ist das Intervall
[0 ; 6] - andere Werte können für x nicht gewählt
werden.
| Der Graph der Flächeninhaltsfunktion
lässt vermuten, dass für
x = 3 der größte Flächeninhalt erhalten wird. Dies lässt sich bestätigen, wenn die Funktion in die Scheitelpunktsform gebracht wird:
Der Scheitelpunkt der Parabel ist also S(3 | 9). Das bedeutet, für x = 3 nimmt die Funktion ihren größten Wert an. Dieser ist A(3) = 9. |
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Definition:
Nimmt eine Funktion an einer Stelle x einen
größtmöglichen oder einen kleinstmöglichen Wert an,
so nennt man diese Stelle eine Extremstelle.
Der Funktionswert an einer Extremstelle heißt
Extremwert.
Ist der Extremwert der größtmögliche
Funktionswert, dann heißt der entsprechende Punkt des Graphen Hochpunkt.
Ist der Extremwert der kleinstmögliche Funktionswert, dann heißt
der entsprechende Punkt des Graphen Tiefpunkt.
Wie das Beispiel zeigt, läuft die Bestimmung von Extremstelle und Extremwert bei quadratischen Funktionen auf die Bestimmung des Scheitelpunktes der zugehörigen Parabel hinaus, denn: Je nach Öffnung der Parabel - nach unten bzw. nach oben - ist der Scheitelpunkt der Parabel Tiefpunkt bzw. Hochpunkt.
Übungen:
1. An einer Bretterwand soll ein rechteckiger Lagerplatz durch einen Drahtzaun abgegrenzt werden. Es stehen nur 19 m Drahtzaun zur Verfügung; der Lagerplatz soll dabei möglichst groß sein.
In welchem Abstand müssen die Eckpfosten gesetzt werden? Wie groß kann der Flächeninhalt des Lagerplatzes höchstens werden?
2. Ein 18 cm langer Draht soll zu einem Rechteck gebogen werden. Für welche Seitenlänge x ist der Flächeninhalt
a) genau 4,25 cm2 groß,
b) mindestens 11,25 cm2 groß,
c) am größten und wie groß dann?
| 3. Einem Rechteck mit den
Seitenlängen 8 cm und 5 cm wird ein Parallelogramm einbeschrieben,
indem man von jedem Eckpunkt des Rechtecks aus im Uhrzeigersinn eine gleich
lange Strecke abträgt. Bestimmen Sie das Parallelogramm mit dem kleinsten
Flächeninhalt.
Hinweis: Stellen Sie einen Term für dem Flächeninhalt des Parallelogramms auf, indem Sie von dem Flächeninhalt des Rechtecks die Flächeninhalte von vier Dreiecken subtrahieren. |
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4. Für welchen Punkt
P der Geraden mit der Gleichung 
hat das Rechteck OAPB den größten Flächeninhalt?
Hinweis: Nutzen Sie aus, dass die Koordinaten des Punktes P die Gleichung der Geraden erfüllen müssen. |
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5. An welcher Stelle weichen die Funktionswerte
von 
und 
am wenigsten voneinander ab?
6. Die Graphen der beiden Funktionen f1
und f2 mit 
und 
begrenzen ein Flächenstück. Bestimmen Sie diejenige Parallele
zur y-Achse, die aus diesem Flächenstück die längste
Strecke herausschneidet.
