5.5 Nullstellen quadratischer Funktionen

Charakteristische Eigenschaften von Parabeln, also den Graphen quadratischer Funktionen, sind:

1. Scheitelpunkt
2. Symmetrieachse
3. Schnittpunkt mit der y-Achse
4. Schnittpunkte mit der x-Achse

Bestimmung dieser Eigenschaften:

1. Der Scheitelpunkt ist aus der Scheitelpunktsformdirekt abzulesen: S = (u ; v).

2. Die Symmetrieachse ist die durch den Scheitelpunkt verlaufende Parallele zur y-Achse, also die Gerade x = u.

3. Der Schnittpunkt mit der y-Achse hat die x-Koordinate 0. Seine y-Koordinate kann aus der allgemeinen Form
direkt abgelesen werden:.

4. Schnittpunkte einer Parabel mit der x-Achse haben die y-Koordinate 0: f (x) = 0. Die Lösungen dieser Gleichung werden daher die Nullstellen der quadratischen Funktion genannt.

Die Berechnung der Nullstellen einer quadratischen Funktion soll an Beispielen gezeigt werden.

Beispiel 1:

Der Funktionsterm wird gleich Null gesetzt und versucht, die entstehende Gleichung nach x aufzulösen:

Die Funktion besitzt also zwei Nullstellen; das bedeutet: der Graph, also die zugehörige Parabel, schneidet die x-Achse an zwei Stellen, nämlich bei x = 1 und bei x = 5.

Beispiel 2:

Die allgemeine Form muss zunächst in die Scheitelpunksform umgeformt werden. Dann kann wie im Beispiel 1 weiter gerechnet werden.

Die Scheitelpunktsform lässt sogar ohne Rechnung sofort erkennen, ob und wieviele Nullstellen eine quadratische Funktion besitzt.

	v < 0	v = 0	v > 0
a > 0	zwei Nullstellen	eine Nullstelle	keine Nullstelle
a < 0	keine Nullstelle	eine Nullstelle	zwei Nullstellen

Übungen:

Ihre Lösungen der folgenden Aufgaben können Sie mit den aus den Abschnitten 3.1 und 3.3 bekannten Applets überprüfen.

1. Welche der folgenden Funktionen haben keine Nullstellen?

2. Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden quadratischen Funktionen.

3. Für welche Werte von x verläuft die Parabel oberhalb bzw. unterhalb der x-Achse?