2. Potenzen mit natürlichen Zahlen als Exponenten

2.1 Definition

1. Der Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seite a ist bekanntlich .

2. Das Volumen eines Würfels mit der Kante a ist .

3. Bei der Vermehrung von Einzellern durch Zellteilung ergibt sich folgendes Bild:

Nach n Teilungsperioden beträgt die Anzahl offensichtlich

.

4. Bei der jährlichen Verzinsung eines Kapitals K₀ zu einem Zinssatz p% ist das Wachstum des Kapitals wie folgt zu berechnen:

Nach n Jahren ist das Anfangskapital dann angewachsen auf

Für Produkte aus gleichen Faktoren wird die Potenzschreibweise benutzt:

Allgemein wird definiert:

Da ein Produkt mindestens zwei Faktoren hat, wurde für die Potenz aⁿ zunächst  vorausgesetzt. Eine erste kleine Verallgemeinerung ergibt sich wie folgt:
 

Als Produkt geschrieben hat
a3 einen Faktor weniger als a4,
a2 einen Faktor weniger als a3,
Führt man dieses Schema weiter, so müsste a1 = a sein.

Dies wird auch so festgelegt. Damit ist  definiert:

Übungen: Potenzen mit natürlichen Zahlen als Exponenten

1. Schreiben Sie als Potenz. Beispiel: .

2. Schreiben Sie als Zehnerpotenz. a) 100 000 b) 10 Milliarden c) 1 Billion

3. Berechnen Sie.

4. Ordnen Sie in einer Ungleichungskette an.

5. Berechnen Sie ohne Taschenrechner.

Die beiden letzten Übungen lassen folgende Eigenschaften von Potenzen erkennen.

Satz 1: Für Potenzen mit Exponenten aus  gilt:

• Ist die Basis größer als 1, so ist auch die Potenz größer als 1.
• Liegt die Basis zwischen 0 und 1, so liegt auch die Potenz zwischen 0 und 1.

• Ist a > 1, so ist die Potenz mit höherem Exponenten größer als die Potenz mit niedrigerem Exponenten.
• Ist 0 < a < 1, so ist die Potenz mit höherem Exponenten kleiner als die Potenz mit niedrigerem Exponenten.

• positive Zahl, falls der Exponent gerade ist,
• negative Zahl, falls der Exponent ungerade ist.

6. Ergänzen Sie wie im Beispiel: 2³⁺¹ ist das Doppelte von 2³.

2⁵⁺¹ ist das _______________ von 2⁵ ; 2ⁿ⁺¹ ist das _______________ von 2ⁿ

2ⁿ⁺² ist das _______________ von 2ⁿ ; 2ⁿ⁺³ ist das _______________ von 2ⁿ

3ⁿ⁺¹ ist das _______________ von 3ⁿ ; 3ⁿ⁺² ist das _______________ von 3ⁿ

7. Ordnen Sie der Größe nach.

8. Welches der Zeichen <, >, = ist einzusetzen, damit wahre Aussagen entstehen? 
 

Wenn	dann
p < q und a = 1	ap aq
p < q und a = 0	ap aq
p < q und a > 1	ap aq
p < q und 0 < a < 1	ap aq
p gerade und –1 < a < 0	ap a2p
p ungerade und –1 < a < 0	ap a2p
p gerade und a < –1	ap a2p
p ungerade und a < –1	ap a2p

2.2 Rechengesetze

2.2.1 Terme mit Potenzen

2. Vereinfachen bzw. berechnen Sie.

3. Sie kennen die Vorrangregel „Punktrechnung kommt vor Strichrechnung“. Das bedeutet, Multiplikationen und Divisionen sind vor Additionen und Subtraktionen auszuführen.

Diese Regel ist zu nun zu erweitern:

Beispiel: In  ist zuerst die Potenz auszurechnen:

Wenn erst die Multiplikation ausgeführt werden soll, muss die Abweichung von der Reihenfolge der Rechenarten durch Klammern erzwungen werden:

Entsprechend:

Übungen: Terme mit Potenzen

1. Vereinfachen Sie.

2. Vereinfachen Sie zuerst und berechnen Sie dann.

2.2.2 Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis

Allgemein ergibt sich entsprechend:

Übungen: Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis

1. Zerlegen Sie die Potenz auf mindestens drei Arten in zwei Faktoren.

Beispiel:

2. Suchen Sie die falschen Aussagen heraus.

3. Schreiben Sie das Produkt als eine Potenz.

4. Vereinfachen Sie.

Beispiel:

5. Schreiben Sie das Produkt als eine Potenz.

6. Vereinfachen Sie.

7. Klammern Sie aus und kürzen Sie .

Beispiel:

8. Multiplizieren Sie aus.

2.2.3 Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis

Allgemein gilt für das Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis:

Übungen: Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis

1. Schreiben Sie als eine Potenz.

2. Kürzen Sie.

3. Schreiben Sie als eine Potenz.

4. Welche Potenz ist in die Leerstelle einzusetzen?

5. Wie heißt der zweite Faktor?

6. Machen Sie nennergleich und vereinfachen Sie, wenn möglich.

Beispiel:

2.2.4 Rechnen mit Potenzen mit gleichen Exponenten

Allgemein:

In Worten: Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man ihre Basen multipliziert und das Produkt mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.

Von rechts nach links gelesen:. Ein Produkt wird potenziert, indem man jeden Faktor potenziert.

Entsprechend gilt für Quotienten von Potenzen mit gleichen Exponenten

Allgemein:

In Worten: Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man ihre Basen dividiert und den Quotienten mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.

Von rechts nach links gelesen:. Ein Quotient wird potenziert, indem man Zähler und Nenner potenziert.

Übungen: Potenzen mit gleichen Exponenten

1. Berechnen Sie. Beispiel: 

2. Potenzieren Sie das Produkt. Beispiel: 

3. Schreiben Sie als eine Potenz. Beispiel: 

4. Schreiben Sie als eine Potenz und vereinfachen Sie, wenn möglich.

5. Berechnen Sie. Beispiel: 

6. Potenzieren Sie den Quotienten. Beispiel: 

2.2.5 Potenzieren von Potenzen

Nach der Regel für die Multiplikation von Potenzen gleicher Basis gilt

Also ist

Allgemein gilt:

In Worten: Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält.

Übungen: Potenzieren von Potenzen

1. Berechnen Sie die Potenz. Beispiel: 

2. Schreiben Sie als Potenz mit möglichst kleiner Basis.

3. Formen Sie um. Beispiel: 

4. Formen Sie um und vereinfachen Sie, wenn möglich.