1. Der Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seite a ist bekanntlich .
2. Das Volumen eines Würfels mit der Kante a ist .
3. Bei der Vermehrung von Einzellern durch Zellteilung ergibt sich folgendes Bild:
Nach n Teilungsperioden beträgt die Anzahl offensichtlich
4. Bei der jährlichen Verzinsung eines Kapitals K0 zu einem Zinssatz p% ist das Wachstum des Kapitals wie folgt zu berechnen:
Nach n Jahren ist das Anfangskapital dann angewachsen auf
.
Für Produkte aus gleichen Faktoren wird die Potenzschreibweise benutzt:
Allgemein wird definiert:
.
Da ein Produkt mindestens zwei Faktoren hat, wurde
für die Potenz
an zunächst
vorausgesetzt. Eine erste kleine Verallgemeinerung ergibt sich wie folgt:
Als Produkt geschrieben hat | |
a3 einen Faktor weniger als a4, | |
a2 einen Faktor weniger als a3, | |
Führt man dieses Schema weiter,
so müsste
a1 = a sein. |
Dies wird auch so festgelegt. Damit ist definiert:
.
Übungen: Potenzen mit natürlichen Zahlen als Exponenten
1. Schreiben Sie als Potenz. Beispiel: .
2. Schreiben Sie als Zehnerpotenz. a) 100 000 b) 10 Milliarden c) 1 Billion
3. Berechnen Sie.
4. Ordnen Sie in einer Ungleichungskette an.
5. Berechnen Sie ohne Taschenrechner.
Die beiden letzten Übungen lassen folgende Eigenschaften von Potenzen erkennen.
Satz 1: Für Potenzen mit Exponenten aus gilt:
6. Ergänzen Sie wie im Beispiel: 23+1 ist das Doppelte von 23.
25+1 ist das _______________ von 25 ; 2n+1 ist das _______________ von 2n
2n+2 ist das _______________ von 2n ; 2n+3 ist das _______________ von 2n
3n+1 ist das _______________ von 3n ; 3n+2 ist das _______________ von 3n
7. Ordnen Sie der Größe nach.
8. Welches der Zeichen <, >, = ist einzusetzen,
damit wahre Aussagen entstehen?
Wenn | dann |
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2. Vereinfachen bzw. berechnen Sie.
3. Sie kennen die Vorrangregel „Punktrechnung kommt vor Strichrechnung“. Das bedeutet, Multiplikationen und Divisionen sind vor Additionen und Subtraktionen auszuführen.
Diese Regel ist zu nun zu erweitern:
Die Rechenart Potenzieren kommt vor Punktrechnung, und Punktrechnung kommt wie bisher vor Strichrechnung.
Beispiel: In ist zuerst die Potenz auszurechnen:
.
Wenn erst die Multiplikation ausgeführt werden soll, muss die Abweichung von der Reihenfolge der Rechenarten durch Klammern erzwungen werden:
.
Entsprechend:
.
Übungen: Terme mit Potenzen
1. Vereinfachen Sie.
2. Vereinfachen Sie zuerst und berechnen Sie dann.
.
Allgemein ergibt sich entsprechend:
.
für alle
Übungen: Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis
1. Zerlegen Sie die Potenz auf mindestens drei Arten in zwei Faktoren.
Beispiel:
2. Suchen Sie die falschen Aussagen heraus.
3. Schreiben Sie das Produkt als eine Potenz.
4. Vereinfachen Sie.
Beispiel:
5. Schreiben Sie das Produkt als eine Potenz.
6. Vereinfachen Sie.
7. Klammern Sie aus und kürzen Sie .
Beispiel:
8. Multiplizieren Sie aus.
Allgemein gilt für das Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis:
für alle .
Übungen: Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis
1. Schreiben Sie als eine Potenz.
2. Kürzen Sie.
3. Schreiben Sie als eine Potenz.
4. Welche Potenz ist in die Leerstelle einzusetzen?
5. Wie heißt der zweite Faktor?
6. Machen Sie nennergleich und vereinfachen Sie, wenn möglich.
Beispiel:
Allgemein:
für alle .
In Worten: Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man ihre Basen multipliziert und das Produkt mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.
Von rechts nach links gelesen:. Ein Produkt wird potenziert, indem man jeden Faktor potenziert.
Entsprechend gilt für Quotienten von Potenzen mit gleichen Exponenten
Allgemein:
für alle .
In Worten: Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man ihre Basen dividiert und den Quotienten mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.
Von rechts nach links gelesen:. Ein Quotient wird potenziert, indem man Zähler und Nenner potenziert.
Übungen: Potenzen mit gleichen Exponenten
1. Berechnen Sie. Beispiel:
2. Potenzieren Sie das Produkt. Beispiel:
3. Schreiben Sie als eine Potenz. Beispiel:
4. Schreiben Sie als eine Potenz und vereinfachen Sie, wenn möglich.
5. Berechnen Sie. Beispiel:
6. Potenzieren Sie den Quotienten. Beispiel:
.
Nach der Regel für die Multiplikation von Potenzen gleicher Basis gilt
.
Also ist
.
Allgemein gilt:
für alle .
In Worten: Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält.
Übungen: Potenzieren von Potenzen
1. Berechnen Sie die Potenz. Beispiel:
2. Schreiben Sie als Potenz mit möglichst kleiner Basis.
3. Formen Sie um. Beispiel:
4. Formen Sie um und vereinfachen Sie, wenn möglich.