Stochastik - Lösungen der Übungsaufgaben

1.1 Zufallsexperiment, Ergebnis und Ergebnisraum

1. = { W1, W2, ..., W6, Z1, Z2, ..., Z6 }

2. = { 2, 3, 4, ..., 12 }

3. = { (rr), (rs), (rw), (sr), (sw), (wr), (ws), (ww) }

4. = { bbb, bbg, bbw, bgg, bgw, bww, ggg, ggw, gww, www }

5. = { (1;2;3), (1;3;2), (2;1;3), (2;3;1), (3;1;2), (3;2;1) } ;

6. = { (A;A), (A;B;A), (A;B;B), (B;B), (B;A;B), (B;AA) }

7. = { (J;J;J), (J;J;M), (J;M;J), (J;M;M), (M;J;J), (M;J;M), (M:M;J), (M;M;M) }

8. a) = { www , wws, wss }

b) = { (www), (wws), (wsw), (wss), (sww), (sws), (ssw) }

c) = { (www), (wws), (wsw), (wss), (sww), (sws), (ssw), (sss) }

9.

1.2 Ereignis und Ereignisraum

1. = { 11, 12, 13, 14, 15, 16, 22, 23, 24, 25, 26, 33, 34, 35, 36, 44, 45, 46, 55, 56, 66 }

E₁ = { 11, 12, 13, 22 }

E₂ = { 16, 25, 26, 34, 35, 36, 44, 45, 46, 55, 56, 66 }

2. = { (NNN), (TNN), (NTN), (NNT), (TTN), (TNT), (NTT) }

E₀ = { (NNN) }

E₁ = { (TNN), (NTN), (NNT) }

E₂ = { (TTN), (TNT), (NTT) }

3. a) = { (rr), (rb), (rg), (br), (bg), (gr), (gb), (gg) }

E₀ = { (bg), (gb), (gg) }

E₁ = { (rb), (rg), (br), (gr) }

b) = { (rr), (rb), (rg), (bb), (br), (bg), (gr), (gb), (gg) }

E₀ = { (bb), (bg), (gb), (gg) }

E₁ = { (rb), (rg), (br), (gr) }

4. = { 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44 }

A = { 11, 13, 21, 23, 31, 33, 41, 43 }

B = { 13, 22, 31, 44 }

C = { 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24 }

D = ( 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44 )

5. ; ; ;

; ;

6. a) = { (111), (110), (101), (011), (100), (010), (001), (000) }

b) ; ;

7. a) = { 11, 12, 13, 14, 15, 16, 22, 23, ..., 26, ..., 66 }

b)

1.3 Ereignisalgebra

1.

2. -

3. a) = { (0000), (1000), (0100), (0010), (0001), (1100), (1010), (1001), (0110), (0101), (0011), (1110), (1101), (1011), (0111), (1111) }

    b)

    c)

4. a) = { (ABC), (ACB), (BAC), (BCA), (CAB), (CBA) }

    b)

    c)

2.1 Relative Häufigkeit

1. a) h₁₀₀₀(ZZ) = 0,246 ; h₁₀₀₀(ZW) = 0,245 ; h₁₀₀₀(WZ) = 0,232 ; h₁₀₀₀(WW) = 0,268

    b) h₁₀₀₀(A) = 0,468 ; h₁₀₀₀(ZZ) = 0,514 ; h₁₀₀₀(C) = 0,754 ; h₁₀₀₀(D) = 0,732

2. a) h₂₀₀(A) = 0,04 ; h₂₀₀(B) = 0,10 ; h₂₀₀(C) = 0,08

    b)

    c)

    d)

3. a)

    b)

4. a)

    b) h_n(A) = 0,63 ; h_n(B) = 0,13

2.3 Die Wahrscheinlichkeit

1. a)

    b)

2. a)

    b)

3.

4 a)

    b)

2.4 Laplace-Experimente

1. = { (1,1), (1,2), ..., (1,6), (2,1), (2,2), ..., (2,6), ..., (6,1), (6,2), ..., (6,6) } ;
 

      E = { (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) } ;
  

2. a) gleichzeitiges Ziehen von 2 Kugeln entspricht dem Ziehen von 2 Kugeln nacheinander ohne Berücksichtigung der Reihenfolge

       = { s1s2, s1s3, s1w1, s1w2,
                   s2s3, s2w1, s2w2,
                   s3w1, s3w2,
                   w1w2 } ;
    

         E = { s1w1, s1w2, s2w1, s2w2, s3w1, s3w2 } ;
    

b) = { (s1,s1), (s1,s2), (s1,s3),( s1,w1), (s1,w2),
                 (s2,s1), (s2,s2), (s2,s3), (s2,w1), (s2,w2),
                 (s3,s1), ..., (s3,w2),
                 (w1,s1), ..., (w1,w2),
                 (w2,s1), ..., (w2,w2) } ;
  

       E = { (s1,s1), (s1,s2), (s1,s3), (s2,s1), (s2,s2), (s2,s3), (s3,s1), (s3,s2), (s3,s3),
                (w1,w1), (w1,w2), (w2,w1), (w2,w2) } ;
   

3.2 Permutationen

3.3 Variationen

3.3.1 Variationen ohne Wiederholung

V_oW = 32 760

3.3.2 Variationen mit Wiederholung

1. V_mW = 2⁸ = 256

2. V_mW = 32⁴ = 1 048 576

3.4 Kombinationen

3.4.1 Kombinationen ohne Wiederholung

1. 300

2.

3.

4.

5. 12 620 256

3.4.2 Kombinationen mit Wiederholung

1. K_mW = 21

2. K_mW = 20

3.5 Zusammenfassung und Übungen

1. a) K_oW = 20

    b) K_oW = 4

    c)

2. a) P_oW = 5

    b) P_oW = 4

    c) 8 * 3! = 48

3. a) 3 * 360 = 1080

    b) 3 * 6⁴ = 3888

4. a) V_oW = 360

    b) V_oW = 46 267 920

5. K_oW * K_oW = 792 * 35 = 27720

6. a) P_oW = 720

    b) V_oW = 120

    c) an der 361. Stelle

7. 2 520

8. a) 1024 ; gleichwahrscheinlich

    b) 11 ; nicht gleichwahrscheinlich

3.6 Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten

1.

2.

3.

4.

5. a)

    b)

6.

7.

8.

9.

4.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit

1. a)

    b)

    c)

    d)

     e)

Die Wahrscheinlichkeit für Diabeteserkrankung ist bei männlichen Patienten größer als bei weiblichen.

2. a)

    b)

4.2 Satz von Bayes

1. a) (1)

         (2)

          (3)

    b)

2. a)

    b)

    c)

5. Stochastische Unabhängigkeit

1. a)

    b) Alle Ereignisse sind stochastisch unabhängig.

2. A und B sind stochastisch unabhängig.

3.

4. a)

    b)

6.2 Bernoulli-Kette

1. a) -

    b) (a) 2/9 (b) 2/9 (c) 4/9 (d) 1/9 (e) 4/9

2. a) 4,41% b) 4,41% c) 8,82% d) 1,89% e) 2,7% f) 26,46%

3. a) 1,93% b) 11,57%

4. a) 34,87% b) 65,13% c) 0,43%

5.  96,41%

6.3 Bernoulli-Formel und Binomialverteilung

1.  a) 29,1%   b) 77,52%

2. 40,46%

3. 4,53%

4. 3,55%

5. a) 21,5%   b) 0,01%   c) 0,6%   d) 99,39%   e) 16,72%

7.1 Zufallsgrößen

1.

2.

3. 

7.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen

1. a) P(X = 5) = 6/37 ; P(X = -1) = 31/37

    b) -

2. a)

    b)

3. a)

    b)

    c)

7.3 Die kumulative Verteilungsfunktion

1.

2. a)

    b)

3. a)

    b)

    c)

    d)

          Ereignis: „Man kommt mit höchstens 6 Würfen ins Spiel.“

    e)

7.4 Maßzahlen von Zufallsgrößen

7.4.1 Der Erwartungswert

1.

2. 

     E(X) = -0,122

Im Durchschnitt verliert ein Spieler 12,2 Cent pro Spiel. Für den Veranstalter bedeutet dies den durchschnittlichen Gewinn von 12,2 Cent je Mitspieler.

3. a) 

         E(X) = 0,32

b) Bei einem Einsatz von 0,50 Euro macht der Automatenbesitzer Gewinn von 0,50 - 0,32 = 0,18 Euro.

7.4.2 Varianz und Standardabweichung

1.

2. a) 

        E(X) = 0,55

      mittlerer Gewinn = Einsatz - E(X) = 0,45 Euro

    b)

7.4.3 Maßzahlen der Binomialverteilung

1. a) n = 20 ; p = 0,25

    b)

    c)

    d)

2.

Der Erwartungswert wächst an. Varianz und Standardabweichung scheinen bei p = 1/2 maximal zu sein.

3.

An Stand 3 ergibt sich relativ gesehen das beste Ergebnis.