3.3 Variationen

3.3.1 Variationen ohne Wiederholung

1. Eine Urne enthält 9 Kugeln, die von 1 bis 9 durchnummeriert sind. Es werden nacheinander 3 Kugeln ohne Zurücklegen herausgegriffen. Nach dem Zählprinzip gibt esverschiedene Möglichkeiten, 3-Tupel aus den 9 verschiedenen Elemente der Mengeohne Wiederholung zu bilden.

2. Beim Pferderennen müssen von 18 Pferden 3 in der Reihenfolge ihres Zieleinlaufs vorausgesagt werden. Die Anzahl der möglichen 3-Tupel beträgt, da Wiederholungen nicht möglich sind.

3. Bildet man aus einer Menge mit n Elementen k-Tupel mitund verschiedenen Elementen, dann heißt ein solches k-Tupel eine Variation k-ter Ordnung von n Elementen ohne Wiederholung.

Nach dem Zählprinzip gibt essolcher Variationen ohne Wiederholung. Nach Erweitern mitergibt sich:
 

Die Anzahl VoW der k-Variationen ohne Wiederholung aus einer Menge mit n Elementen (k < n) beträgt .

4. Die Permutationen ohne Wiederholung lassen sich als Sonderfall für k = n ansehen. Soll die Formel allgemein gelten, so muss

sein. Es zeigt sich wieder, dass es sinnvoll ist,zu setzen.

Übung

Ein Maler bietet einer Galerie 15 Bilder für eine Ausstellung an. An der dazu vorgesehenen Wand finden aber nur 4 Bilder nebeneinander Platz. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Aufhängung von 4 Bildern des Malers?

3.3.2 Variationen mit Wiederholung

1. Bei einem Zahlenschloss, wie es zum Sichern von Fahrrädern benutzt wird, befinden sich auf 4 Ringen jeweils die Ziffern 0, 1, 2, ..., 9. Nur durch die Einstellung eines einzigen 4-Tupels von 4 Ziffern lässt sich das Schloss öffnen. Die Anzahl der möglichen 4-Tupel ist nach dem Zählprinzip.

2. Beim Fußballtoto sind für 11 Spiele folgende Voraussagen zu machen:

• 0: unentschieden
• 1: Heimmannschaft gewinnt (also: HSV schlägt Bayern München in Hamburg)
• 2: Gastmannschaft gewinnt (also: HSV schlägt Bayern München in München)

Möglichkeiten.

3. Allgemein: Bildet man aus einer Menge mit n Elementen k-Tupel und können Elemente der Menge mehrfach vorkommen, dann heißt ein solches k-Tupel eine Variation k-ter Ordnung von n Elementen mit Wiederholung.

Nach dem Zählprinzip gibt essolcher Variationen mit Wiederholung.
 

Die Anzahl VmW der k-Variationen mit Wiederholung aus einer Menge mit n Elementen beträgt .

Beachte: Bei einer k-Variation mit Wiederholung aus einer Menge mit n Elementen kann k > n sein.

Übungen

1. Ein Byte besteht aus 8 Bit, und ein Bit ist eine Binärziffer, die die Werte 0 und 1 annehmen kann. Wie viele 8-stellige Binärcodes lassen sich mit einem Byte darstellen?

2. Aus einem Skatblatt (32 Blatt) wird viermal eine Karte gezogen und wieder in den Stapel zurückgelegt. Die gezogenen Karten werden in der Reihenfolge des Ziehens notiert. Wie viele 4- Tupel ergeben sich auf diese Weise?