2.4 Laplace-Experimente

Es gibt Zufallsexperimente, bei denen die Annahme etwa gleicher Häufigkeit für alle möglichen Ergebnisse zuzutreffen scheint, andererseits aber auch solche, bei denen diese Annahme keinesfalls gerechtfertigt ist.

Kann man davon ausgehen, dass alle Ergebnisse eines Ergebnisraumsetwa gleich häufig auftreten, so ist es sinnvoll, den Elementarereignissen die gleiche Wahrscheinlichkeit zuzuordnen:

.

Ein beliebiges Ereignisbesteht ausvon Elementarereignissen. Also gilt:

.

Definition: Ein Zufallsexperiment heißt Laplace-Experiment, wenn alle Elementarereignisse des Ergebnisraums die gleich Wahrscheinlichkeit besitzen.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E eines Laplace-Experimentes ist gleich dem Quotienten aus den Mächtigkeiten des Ereignisses E und des Ergebnisraumes:

.


Beispiele

1. Zufallsexperiment: Werfen eines Würfels. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:
A: „eine 3“; B: „eine gerade Zahl“; C: „mehr als 3 Augen“; D: „mehr als zwei Augen“;
E: „weniger als 3 Augen“; F: „eine durch 3 teilbare Augenzahl“; G: „eine Primzahl“?

Hier ist, also.
 

Ereignis E
P(E)
A = {3}
1/6
B = {2, 4, 6}
3/6
C = {4, 5, 6}
3/6
D = {3, 4, 5, 6}
4/6
E = {1, 2}
2/6
F = {3, 6}
2/6
G = {2, 3, 5}
3/6

2. Zufallsexperiment: Ziehen einer Karte aus einem Skatblatt (7, 8, ..., As).
    Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:
    A: „Herz Dame“; B: „irgendein König“; C: „eine Bildkarte (Bube, Dame, König)“;
    D: „eine Zahlenkarte (7, 8, 9, 10, As)“; E: „eine Kreuzkarte“;
    F: „eine Bildkarte aus Herz“

Jeder Wert (5 Zahlenkarten und 3 Bildkarten) tritt in 4 Farben (Herz, Karo, Kreuz, Pik) auf, also ist.

P(A) = 1/32

P(B) = 4/32, da es 4 Könige gibt

P(C) = 12/32, da 3*4 = 12 Bildkarten vorhanden sind

P(D) = 20/32, da 5*4 = 20 Zahlenkarten vorhanden sind

P(E) = 8/32, da es 8 Werte mit der Farbe Kreuz gibt

P(F) = 3/32, da es 3 Bildkarten mit der Farbe Herz gibt

3. In einer Gruppe von 60 Studenten ist die folgende absolute Häufigkeitsverteilung zweier Merkmale gegeben:

Aus der Gruppe wird der alphabetisch erste Name herausgesucht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich um

a) eine(n) Raucher(in),
b) einen männlichen Studenten,
c) eine nichtrauchende Studentin,
d) einen rauchenden Studenten?

Es ist. R: „Raucher“, M: männlich

4. Zufallsexperiment: Werfen zweier unterscheidbarer Laplace-Würfel.

a) Geben Sie den Ergebnisraum an.
b) Wie groß ist die Laplace-Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
    A: „es wird mindestens eine 6 geworfen“,
    B: „es wird höchstens eine 6 geworfen“,
    C: die geworfene Augensumme ist mindestens 10“.

a)

also

b)

    C = {(4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6)},

5. Eine Urne enthält drei rote und zwei schwarze gleichartige Kugeln. Es werden zwei Kugeln zufällig herausgegriffen, und zwar
    a) nacheinander ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge,
    b) nacheinander mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge,
    c) gleichzeitig.
    Wie groß ist jeweils die Laplace-Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen (Ereignis E)?

Man könnte versucht sein, die Ergebnisse (rs), (sr), (rr), (ss) in Betracht zu ziehen. Nun liegen in der Urne aber mehr rote als schwarze Kugeln, und daher wären die angeführten Ergebnisse sicher nicht gleichwahrscheinlich. Die Gleichwahrscheinlichkeit von Ergebnissen lässt sich hier nur erreichen, wenn man die Kugeln anders als nur durch die Farbe unterscheidet. Sie könnten z.B. nummeriert werden: r1, r2, r3, s1, s2.

a) 

b) 

c) Das gleichzeitige Ziehen entspricht dem Nacheinanderziehen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.


Übungen

1. Ein Laplace-Würfel wird zweimal nacheinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E: „Die Summe der Augenzahlen beträgt 8.“?

2. Eine Urne enthält 2 weiße und 3 schwarze gleichartige Kugeln.

    a) Es werden 2 Kugeln gleichzeitig herausgegriffen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind die beiden Kugeln verschiedenfarbig?

    b) Es werden nacheinander 2 Kugeln mit Zurücklegen der ersten Kugel gegriffen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Kugeln von gleicher Farbe sind?


4. Zwei gleiche Laplace-Würfel werden gleichzeitig geworfen und bei jedem Wurf wird die Augensumme notiert.

a) Welche relativen Häufigkeiten erwarten Sie für die Augensummen 2, 3, ..., 12?

b) Überprüfen Sie Ihre Erwartung mit dem folgenden JavaScript-Programm. Geben Sie die gewünschte Anzahl n an Würfen ein (n <= 1000000) und klicken Sie auf "Rechnen". Es werden dann die absoluten und die relativen Häufigkeiten der möglichen Augensummen berechnet und angezeigt. (Bei großen Wurfzahlen oder bei langsamen Rechnern kann dieser Vorgang etwas dauern...)

Anzahl Würfe: n =
i k hn({i})
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12