2.2 Das Empirische Gesetz der großen Zahlen

Beispiel 1: Münzwurf

Wirft man ein Münze mehrmals hintereinander, so erwartet man intuitiv, dass Wappen und Zahl etwa gleich häufig auftreten, während man über den Ausgang eines einzelnen Münzwurfs keine Aussage machen kann.

Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse nach 200maligem Münzwurf. Nach jeweils 10 Würfen ist die relative Häufigkeitermittelt worden.

     

Es ist festzustellen: Mit wachsender Wurfzahl n scheint sich die relative Häufigkeitum den Wert 0,5 zu stabilisieren. Das heißt, die intuitive Erwartung hat sich bestätigt, dass die relative Häufigkeit für Wappen und Zahl etwa gleich groß sein wird, wenn man viele Würfe ausführt.

Beispiel 2: Werfen eines Würfels

Beim Werfen eines Würfels ist die Erwartung, dass alle 6 möglichen Zahlen etwa gleich häufig vorkommen. In der folgenden Tabelle sind die relativen Häufigkeiten der Elementarereignisse nach 100, 1 000, ... 1 000 000 Würfen angegeben.

Mit zunehmender Versuchsanzahl n stabilisieren sich die Werteund nähern sich einem gewissen gemeinsamen „Idealwert“, den man eigentlich erst nach unendlich vielen Versuchen genau erreichen würde.

Beispiel 3: Geburtsstatistik

Bei Geburten könnte man intuitiv erwarten, dass Jungen und Mädchen etwa gleich häufig vorkommen. Die folgende Tabelle zeigt die Geburten des Jahres 1964 in der BRD, und zwar insbesondere die relative Häufigkeit der Knabengeburten sowohl in den einzelnen Monaten als auch jeweils einer bestimmten Anzahl von Monaten.

Auch hier zeigt sich bei der relativen Häufigkeiteine Stabilisierung mit wachsendem n.

Während in den einzelnen Monaten des Jahres die relative Häufigkeitnoch größeren Schwankungen unterwirfen ist, stabilisiert sich die relative Häufigkeitmit steigender Zahl der berücksichtigten Geburten mehr und mehr um einen Zahlenwert von etwa 0,514 und nicht, wie man vielleicht hätte vermuten können, um 0,5. Das bedeutet, dass stets etwas mehr Jungen geboren werden als Mädchen, nämlich rund 51,4% gegenüber 48,6%. Bei ungestörter Bevölkerungsent-wicklung führt dies zu einem geringen Überschuss der Männer, wie es in der Bundesrepublik seit der Zeit nach dem zweiten Weltkrieg der Fall ist.

Die angeführten drei Beispiele lassen eine Gesetzmäßigkeit erkennen, die man das Empirische Gesetz der großen Zahlen nennt:
 
Die relative Häufigkeit eines Ereignisses stabilisiert sich mit zunehmender Versuchsanzahl um einen festen Zahlenwert.