1.2 Ereignis und Ereignisraum

1. Eine Urne enthält vier nummerierte Kugeln; es wird eine Kugel gezogen. Wenn man sich nur dafür interessiert, ob eine gerade oder eine ungerade Zahl gezogen wird, betrachtet man Teilmengen des Ergebnisraums:

E1 = {1, 3} , E2 = {2, 4}.

Definition: Jede Teilmenge E des Ergebnisraumsheißt ein Ereignis. 

Man sagt: Das Ereignis tritt ein, wenn das Versuchsergebnisdes Zufallsexperiments ein Element der Menge E ist.

Im Beispiel: Wird die 3 gezogen, dann ist das Ereignis E1 eingetreten. Ebenso tritt E1 ein, wenn die 3 gezogen wird. Zieht man dagegen die 4 (oder 2), dann tritt das Ereignis E2 ein.

2. Aus der Urne mit vier nummerierten Kugeln werden nacheinander zwei Kugel ohne Zurücklegen gezogen.
 

 		 Mit Hilfe des Baumdiagramms kann der Ergebnisraum konstruiert werden:

.

Verschiedene Teilmengen davon sind z.B. die folgenden Ereignisse.

E1: „Es werden zwei gerade Nummern gezogen.“
E1 = {(2,4), (4,2)}

E2: „Es werden zwei ungerade Nummern gezogen.“
E2 = {(1,3), (3,1)}

E3: „Eine gerade und eine ungerade Nummer werden gezogen.“
E3 = {(1,2), (1,4), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3)}
Definition: Die Menge aller Ereignisse vonheißt Ereignisraum.

Das unmögliche Ereignis ist die leere Menge.

Die aus den Ergebnissengebildeten einelementigen Teilmengennennt man Elementarereignisse des Ergebnisraums.

Der Ergebnisraumselbst wird auch als das sichere Ereignis bezeichnet.

Ohne Beweis sei mitgeteilt, dass der Ereignisraum vongenau 2n Ereignisse enthält.

Unvereinbare Ereignisse

1. In einer Urne befinden sich eine rote und eine blaue Kugel. Es werden nacheinander zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen, die Reihenfolge der Einzelziehungen wird nicht berücksichtigt. Der Ergebnisraum ist

.

Die daraus zu bildenden Teilmengen sind die Ereignisse:
 

E1 = { }
E2 = {rr}, E3 = {rb}, E4 = {bb}
E5 = {rr, rb}, E6 = {rr, bb}, E7 = {rb, bb}
E8 = 

Wenn die rote Kugel zweimal gezogen wird, tritt das Ereignis E2 ein. Gleichzeitig treten aber auch die Ereignisse E5, E6, E8 ein, denn diese 4 Ereignisse haben das Element rr gemeinsam.

Dagegen haben E2, E3, E4, E7 keine gemeinsamen Elemente. Diese Ereignisse können also nicht gleichzeitig eintreten.
 
Definition: Zwei Ereignisse A und B eines Ergebnisraums heißen unvereinbar, wenn gilt:, und vereinbar, wenn gilt. 

2. Als weiteres Beispiel wird das zweimalige Werfen eines Würfels betrachtet.

a) Die Ereignisse Ei: „Die Augensumme beträgt i.“ (i = 2, 3, ..., 12) sind unvereinbar.

b) Für die drei Ereignisse

    A: „Die Augensumme ist kleiner als 6.“
    B: „Die Augensumme ist größer als 6.“
    C: „Mindestens ein Würfel zeigt 4.“

    gilt:

    A und B sind unvereinbar.
    A und C sind vereinbar: sie treten gleichzeitig ein, wenn z.B. (1,4) gewürfelt wird.
    B und C sind vereinbar: sie treten gleichzeitig ein, wenn z.B. (3,4) gewürfelt wird.

Übungen

1. Zwei vollkommen gleiche Würfel werden geworfen. Schreiben Sie den Ergebnisraum und folgende Ereignisse auf:
    E1:„Die Augensumme ist kleiner als 5.“
    E2: „Die Augensumme ist größer als 6.“

2. In einem Lostopf befinden sich 20 Lose, davon sind 2 „Treffer“ (T) und 18 „Nieten“ (N). Es werden nacheinander 3 Lose gezogen. Geben Sie den Ergebnisraum und folgende Ereignisse an:
    E0: „Es werden drei Nieten gezogen.“
    E1: „Es wird genau ein Treffer gezogen.“
    E3: „Es werden zwei Treffer gezogen.“

3. In einer Urne befinden sich 3 rote, 1 blaue und 4 gelbe Kugeln.

    a) Es werden nacheinander 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Geben Sie den Ergebnisraum und folgende Ereignisse an:
        E0: „Es wird keine rote Kugel gezogen.“
        E1: „Es wird genau eine rote Kugel gezogen.“

    b) Was ändert sich, wenn nacheinander zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen werden?

4. Ein Glücksrad hat 4 gleich große Felder mit den Ziffern 1, 2, 3, 4. Das Rad wird zweimal gedreht und das Ergebnis als zweistellige Zahl angegeben, wobei die erste erzielte Ziffer die Zehnerstelle einnimmt, die zweite Ziffer die Einerstelle.
Schreiben Sie den Ergebnisraum und folgende Ereignisse auf:
    A: „Die Zahl ist ungerade.“
    B: „Die Quersumme der Zahl ist durch 4 teilbar.“
    C: „Die Zahl ist kleiner als 30.“
    D: „Die Zahl ist größer als 20“.

5. Ein Würfel wird zweimal geworfen. Untersuchen Sie die folgenden Ereignisse auf ihre paarweise Unvereinbarkeit.
    A: „Die Augensumme ist durch 4 teilbar.“
    B: „Die Augensumme ist eine Primzahl.“
    C: „Die Augensumme ist kleiner als 5.“
    D: „Die Augensumme ist ein echtes Vielfaches von 3.“

6. Jemand kauft 3 Lose und öffnet sie nacheinander. Es werden Treffer (1) und Niete (0) unterschieden.

    a) Geben Sie einen geeigneten Ergebnisraum an.

    b) Untersuchen sie folgende Ereignisse auf ihre paarweise Unvereinbarkeit:
        E1: „Höchstens ein Los gewinnt.“
        E2: „Das 1. und das 3. Los gewinnt.“
        E3: „Mindestens ein Los gewinnt.“

7. Zwei gleiche Würfel werden gleichzeitig geworfen.

    a) Stellen Sie den Ergebnisraum auf.
 
    b) Untersuchen Sie folgende Ereignisse auf Unvereinbarkeit:
        E1: „Das Produkt der Augenzahlen ist durch 4 teilbar.“
        E2: „Die Summe der Augenzahlen ist eine Primzahl.“