9. Kreis und Kugel

9.1 Kreis

Im alltäglichen Sprachgebrauch wird "Kreis" in zwei Bedeutungen verwendet: einmal wird damit die Kreislinie bezeichnet, zum anderen aber auch die Kreisfläche. Die Mathematik benötigt eine eindeutige Definition, und unter einem Kreis soll die Kreislinie als Punktmenge verstanden werden. Diese Punktmenge wird durch eine Gleichung beschrieben.

Def.:

Die Menge aller Punkte X, deren Ortsvektoren die Gleichung

erfüllen, ist der Kreis in der x₁-x₂-Ebene um den Koordinatenursprung mit dem Radius r.

Zur Vereinfachung schreibt man üblicherweise statt :

Koordinatengleichung:

Ist der Mittelpunkt eines Kreises vom Koordinatenursprung O(0|0) verschieden, so haben die Ortsvektoren der Punkte des Kreises keine einheitliche Länge. Es gilt aber immer noch, dass der Abstand jedes Punktes X des Kreises vom Mittelpunkt M konstant, und zwar gleich dem Radius ist.

Ist der Ortsvektor des Punktes X und der Ortsvektor des Mittelpunktes M, dann ist .

Def.:

Sei der Ortsvektor des Punktes M. Die Menge aller Punkte X, deren Ortsvektoren die Gleichung

erfüllen, ist der Kreis in der x₁-x₂-Ebene um den Mittelpunkt M mit dem Radius r.

Koordinatengleichung:

9.2 Kugel

Eine Kugel, im Sinne von Kugelfläche, wird als Menge aller Punkte des Raumes definiert, die von einem fest vorgegebenen Punkt M einen festen Abstand r haben.

Def.: Sei der Ortsvektor eines Punktes M im Raum. Die Menge aller Punkte X, deren Ortsvektoren die Gleichung

erfüllen, ist die Kugel um den Mittelpunkt M mit dem Radius r.

Koordinatengleichung:

Jeder Punkt P der Kugel lässt sich durch seine kartesischen Koordinaten (x₁; x₂; x₃) eindeutig beschreiben. Häufig ist es aber sinnvoller, die sogenannten Kugelkoordinaten zu verwenden. Diese sind wie folgt definiert.

Der Radius r ist der Abstand des Punktes P vom Koordinatenursprung O, also die Länge des Vektors ;
der Azimutwinkel ist der Winkel zwischen der positiven x₁-Achse und der Projektion von in die x₁-x₂-Ebene, gezählt von 0 bis 2π (0° bis 360°) gegen den Uhrzeigersinn;
der Polarwinkel ist der Winkel zwischen der positiven x₃-Achse und dem Vektor , gezählt von 0 bis π (0° bis 180°).

Die Kugelkoordinaten und die kartesischen Koordinaten können ineinander umgerechnet werden:

Im Dreieck OPF findet sich der Winkel auch bei P wieder, und es ist abzulesen:

Wird auf die x₁- bzw. x₂-Achse projiziert, so folgt:

Zusammengefasst:

Für die Berechnung der Kugelkoordinaten aus den kartesischen Koordinaten liest man ab:

also:

Speziell zur Orientierung auf der Erdoberfläche sind anstelle der Kugelkoordinaten die geographischen Koordinaten gebräuchlich. Diese sind wie folgt definiert:

Die geographische Breite (Breitengrade) wird vom Äquator aus gezählt, die Pole liegen bei (Nord) bzw. (Süd);
die geographische Länge (Längengrade) wird von einem willkürlichen Nullmeridian (Meridian von Greenwich) nach Osten () und Westen () gezählt.

Aus den geographischen Koordinaten erhält man mit dem Erdradius r_E die Koordinaten eines Punktes auf der Erdoberfläche:

Beispiel: Für Hamburg ist . Dies ergibt

9.3 Beziehungen zwischen Kugeln und anderen Punktmengen

9.3.1 Punkt - Kugel

Gegeben sind eine Kugel K mit Mittelpunkt M und Radius r, sowie ein Punkt . Die zu M und P gehörigen Ortsvektoren sind und .

Bei der Punktprobe für P wird für in die Vektorgleichung der Kugel oder die Koordinaten von P in die Koordinatengleichung der Kugel eingesetzt.

bzw. : P liegt auf der Kugel K
bzw. : P liegt innerhalb der Kugel K
bzw. : P liegt außerhalb der Kugel K

9.3.2 Gerade - Kugel

Für eine Gerade und eine Kugel gibt es drei verschiedene Lagebeziehungen:

Die Gerade ist Sekante.	Die Gerade ist Tangente.	Die Gerade ist Passante.

Gegeben sind eine Gerade und eine Kugel K mit Mittelpunkt M und Radius r. Die Punktprobe für die Punkte von g in der Gleichung von K liefert eine quadratische Gleichung für den Parameter s:

bzw.

Besitzt sie

zwei Lösungen, so haben g und K zwei Punkte S₁ und S₂ gemeinsam. Die Gerade g ist eine Sekante.
genau eine Lösung, so berührt g die Kugel K in einem Punkt B. Die Gerade g ist eine Tangente.
keine Lösung, so haben g und K keine gemeinsamen Punkte. Die Gerade g ist eine Passante.

9.3.3 Ebene - Kugel

Für eine Ebene und eine Kugel gibt es drei verschiedene Lagebeziehungen:

Die Ebene schneidet die Kugel in einem Kreis.	Die Ebene berührt die Kugel in einem Punkt.	Die Ebene und die Kugel schneiden sich nicht.

Gegeben sind eine Ebene und eine Kugel mit Mittelpunkt M und Radius r. Der Abstand des Mittelpunktes M von der Ebene E ergibt sich aus

(siehe Abschnitt "Ebenen"). Ist dieser Abstand

kleiner als der Radius r, so besitzen E und K einen gemeinsamen Schnittkreis k.
gleich dem Radius r, so besitzen E und K genau einen gemeinsamen Punkt, den Berührpunkt B. Die Ebene E ist dann eine Tangentialebene der Kugel K.
größer als der Radius r, so besitzen E und K keine gemeinsamen Punkte.

Zur Berechnung eines Schnittkreises wird wie folgt vorgegangen:

Es wird die Gleichung der Lotgeraden g durch den Kugelmittelpunkt M mit dem Normalenvektor von E als Richtungsvektor aufgestellt:

Zur Berechnung des Schnittpunktes von Lotgerade g und Ebene E wird in bekannter Weise der Geradenterm in die Ebenengleichung eingesetzt und die resultierende Gleichung nach dem Parameter s aufgelöst:

Einsetzen des gefundenen Wertes für s in die Gleichung der Lotgeraden ergibt den Ortsvektor des Schnittkreismittelpunktes M ':

Der Radius r' des Schnittkreises ergibt sich mit dem Kugelradius r und dem Abstand nach dem Satz des Pythagoras:

Ein Berührpunkt von E und K wird entsprechend als Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Ebene E berechnet.

9.3.4 Kugel - Kugel

Bei zwei Kugeln gibt es 6 verschiedene Lagebeziehungen.

Gegeben sind zwei Kugeln K₁ und K₂ mit den Mittelpunkten M₁ und M₂ und den Radien r₁ und r₂. Die Kugeln K₁ und K₂

besitzen einen Schnittkreis k für .
berühren sich für von innen und für von außen.
liegen für ineinander und für auseinander.

Die Berechnung eines Schnittkreises soll kurz skizziert werden.

Gegeben seien zwei Kugeln durch ihr Koordinatengleichungen:

Die beiden Koordinatengleichungen werden subtrahiert. Als Ergebnis erhält man die Ebenengleichung der Schnittkreisebene .

Es wird die Gleichung der Lotgeraden g durch den Kugelmittelpunkt M₁ mit dem Normalenvektor von E als Richtungsvektor aufgestellt: .
Die Berechnung des Schnittpunkts von g und E ergibt den Mittelpunkt M ' des Schnittkreises.
Mit dem Kugelradius r₁ und dem Abstand ergibt sich der Radius des Schnittkreises nach dem Satz des Pythagoras: