Analytische Geometrie

1. Lineare Gleichungssysteme

1.1 Einführung

Es soll zuerst ein wirtschaftliches Problem betrachtet werden. Ein Unternehmen stellt ein bestimmtes Gut her, dessen Produktionsmenge mit x bezeichnet wird. Die Produktionskosten K hängen von der Produktionsmenge ab, so dass sich eine so genannte Kostenfunktion ergibt:

.

Eine solche Kostenfunktion liegt häufig in Form einer Tabelle vor, z.B.:
 

x (in Mengeneinheiten)
0
2
4
6
8
K (in Kosteneinheiten)
32
96
112
176
384

Wie erhält man Zwischenwerte, die nicht in der Tabelle enthalten sind, z.B. K(5) ?. Stellt man die Tabelle in einer Tabellenkalkulation dar, so ergibt sich folgendes Bild.

In einem solchen Diagramm werden standardmäßig zwei aufeinanderfolgende Datenpunkte durch ein Geradenstück verbunden. Aus der Zeichnung kann man nun ungefähr ablesen, welche Kosten K bei der Produktionsmenge x = 5 auftreten.

Rechnerisch lässt sich das Problem lösen, indem die Gleichung der Geraden ermittelt wird, die durch die Punkte P1(4|112) und P2(6|176) verläuft.

Die Geradengleichung ist von der Form. Steigung m und y-Achsenabschnitt b können mittels der beiden Punkte bestimmt werden. Es entsteht dabei ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen für die beiden gesuchten Größen m und b:

Durch die Subtraktion der Gleichung I von der Gleichung II ist das Gleichungssystem auf die so genannte „Stufenform“ gebracht worden. In dieser Form kann es schrittweise aufgelöst werden. Aus der Gleichung II ' ist unmittelbar abzulesen:

.

Einsetzen dieses Wertes für m in die Gleichung I ' ergibt:

Die gesuchte Geradengleichung lautet also

,

und der für x = 5 gesuchte Zwischenwert der Kostenfunktion ist

.

Nun ist die Näherung der Kostenfunktion durch einen linearen Verlauf wahrscheinlich doch recht grob. Eine Verbesserung könnte erzielt werden, wenn durch die Datenpunkte eine geeignete gekrümmte Kurve gelegt wird. Der einfachste Fall ist, eine Parabel

zu wählen. Hier sind nun aber drei Unbekannte zu bestimmen (a, b und c), so dass auch drei Datenpunkte herangezogen werden müssen, etwa P1(4|112), P2(6|176), P3(8|384).

Das Gleichungssystem ist wieder in Stufenform und kann schrittweise aufgelöst werden.

Die Gleichung der gesuchten Parabel lautet also:

,

und der für x = 5 gesuchte Zwischenwert der Kostenfunktion ist

.

1.2 Das Gauß-Verfahren

Allgemein werden die Variablen eines linearen Gleichungsssystems mitbezeichnet. Die Faktoren vor den Variablen heißen Koeffizienten. Sie werden hier mit,usw. bezeichnet.

Ein lineares Gleichungssystem ist in Stufenform, wenn alle Koeffizienten unterhalb der Diagonalen 0 sind:

Ein lineares Gleichungssystem kann stets auf Stufenform gebracht werden. Dabei sind natürlich nur solche Umformungen zulässig, durch die die Lösungsmenge des Gleichungssystems nicht verändert wird. Solche Äquivalenzumformungen sind:

(1) Vertauschen zweier Gleichungen.

(2) Multiplikation einerGleichung mit einer von 0 verschiedenen Zahl, denn:

Eine Lösung von ist auch eine Lösung von
und umgekehrt, wenn.

(3) Ersetzen einer Gleichung durch die Summe dieser Gleichung und einer anderen Gleichung des
Gleichungssystems, denn:
Eine Lösung vonist auch eine Lösung von
und umgekehrt.

Das Gauß-Verfahren zum Lösen eines linearen Gleichungssystems besteht nun aus den zwei Schritten:

1. Umformung des Gleichungssystems durch Äquivalenzumformungen in Stufenform;

2. schrittweises Auflösen nach den Variablen.

Beispiele

1.

Um das Gleichungssystem auf Stufenform zu bringen, muss zuerst aus den Gleichungen II und III die Variable x1 eliminiert werden. Dies wird dadurch erreicht, dass ein geeignetes Vielfaches der Gleichung I zur Gleichung II bzw. zur Gleichung III addiert wird.

Nun muss noch in Gleichung III ' die Variable x2 eliminiert werden. Dazu ist ein geeignetes Vielfaches von Gleichung II ' zu Gleichung III ' zu addieren.

Nach diesen Schritten ist das Gleichungssystem in Stufenform. Das schrittweise Auflösen nach den Variablen beginnt in Gleichung III ''. Aus dieser Gleichung ergibt sich:

Dieser Wert für x3 wird nun in Gleichung II '' eingesetzt, die dann nur noch die Variable x2 enthält und nach dieser aufgelöst werden kann.

In Gleichung I '' werden die für x3 und x2 gefundenen Werte eingesetzt und nach x1 aufgelöst:

Das Gleichungssystem besitzt also eine eindeutige Lösung. Die Lösungsmenge besteht aus einem Tripel :

2.

Hier empfiehlt es sich, die Reihenfolge der Gleichungen zu ändern:

Elimination von x1 aus Gleichung II ' und III ':

Elimination von x2 aus Gleichung III '':

Schrittweises Auflösen:

Das Gleichungssystem besitzt also eine eindeutige Lösung.

3.

Gleichung III '' ist eine wahre Aussage. Es liegt also ein unterbestimmtes Gleichungssystem vor: zur Bestimmung von 3 Variablen sind nur 2 Gleichungen vorhanden. In diesem Fall kann eine der Variablen beliebig gewählt werden, z.B. x3. Dann ergeben sich x2 und x1 dann in Abhängigkeit von x3.

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.

4.

Gleichung III '' ist eine falsche Aussage. Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung.

(leere Menge)

5.

Auch dieses Gleichungssystem ist unterbestimmt: es liegt nur eine Gleichung zur Bestimmung von drei Variablen vor. Es können daher zwei Variable, etwa x2 und x3, beliebig gewählt werden. x1 ergibt sich dann in Abhängigkeit von x2 und x3.

Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.



Das folgende JavaScript-Programm ermöglicht das Üben des Umformens von Gleichungssystemen mit bis zu 5 Variablen.