1. Einstufiger Produktionsprozess
Eine Fabrik stellt aus 3 Grundstoffen R1, R2 und R3 zwei Düngersorten D1 und D2 her. Zur Herstellung von 1 Tonne (t) von D1 werden 0,5 t von R1, 0,3 t von R2 und 0,2 t von R3 benötigt. Für die Herstellung von 1 t von D2 ist der Bedarf: 0,2 t von R1, 0,2 t von R2 und 0,4 t von R3.
Diese Zusammenhänge können in einem Bedarfsdiagramm graphisch dargestellt werden:
Sollen x1 Tonnen D1 und x2 Tonnen D2 produziert werden, so gilt für die benötigten Mengen y1, y2 und y3 der Grundstoffe:
Gleichungsdarstellung:
Matrixdarstellung:
.
M
ist in diesem Zusammenhang die Bedarfsmatrix.
Anmerkung:
Bedarfsdiagramme, wie sie bei Produktionsprozessen auftreten, werden
oft auch als Gozintographen
bezeichnet. Rechercherchieren Sie nach diesem Begriff und klären Sie
seine Bedeutung.
2. Mehrstufiger Produktionsprozess
Ein Süßwarenhersteller stellt in einem zweistufigen Produktionsprozess aus drei Rohstoffen R1, R2, R3 (z.B. Zucker, Kakao, Fette) drei Endprodukte E1, E2, E3 (Schokoladensorten) her. Dabei werden zunächst Zwischenprodukte Z1, Z2 (halbfertige Mischungen) hergestellt, welche dann weiter zur Herstellung der Endprodukte verarbeitet werden. Der jeweilige Materialbedarf wird durch das Diagramm beschrieben. Dabei geben die Zahlen an den Pfeilen an, wie viele Tonnen jeweils für eine Tonne des entstehenden Produkts verarbeitet werden. Zum Beispiel werden 3 Tonnen R1 und 4 Tonnen R2 für eine Tonne Z1 benötigt.
Die Mengen der Endprodukte werden mit x1, x2, x3 bezeichnet, die Mengen der Zwischenprodukte mit y1, y2 und die Mengen der Rohstoffe mit z1, z2, z3. Der Bedarf für die Produktionsstufe von den Zwischenprodukten zu den Endprodukten ergibt sich zu
Für die Produktionsstufe von den Rohstoffen zu den Zwischenprodukten gilt für den Bedarf:
Der gesamte Prozess lässt sich dann auch schreiben als
.
Wegen der Assoziativität des Produkts von Matrizen kann der gesamte Prozess auch mit einer einzigen Matrix beschrieben werden:
.
Schematische Darstellung eines zweistufigen Produktionsprozesses:
Im betrachteten Beispiel ergibt sich also für die Produktion von x1 Tonnen E1, x2 Tonnen E2, x3 Tonnen E3 der Rohstoffbedarf
Übungen
1. Ein Elektrogerätehersteller baut Heizungsregelungen. Für die Steuergeräte fertigt er drei Platinentypen A1, A2 und A3. Die folgende Tabelle gibt an, wie viele Widerstände der Typen R1, R2, R3, R4 jeweils für eine Platine der Ausführung A1, A2, A3 benötigt werden.
|
|
A1 |
A2 |
A3 |
|
R1 |
4 |
2 |
4 |
|
R2 |
2 |
0 |
3 |
|
R3 |
8 |
1 |
2 |
|
R4 |
0 |
7 |
2 |
a) Zeichnen Sie ein Bedarfsdiagramm.
b) Es sollen 40 Platinen des Typs A1, 20 des Typs A2 und 30 des Typs A3 gefertigt werden. Berechnen Sie die Gesamtzahlen der dafür benötigten Widerstände R1, R2, R3, R4.
2. Ein Betrieb stellt aus drei Bauteilen T1, T2, T3 zwei Zwischenteile Z1, Z2 und aus diesen drei Endprodukte E1, E2, E3 her. Das Diagramm zeigt die jeweils benötigten Stückzahlen der Vorprodukte für jeweils ein Stück Folgeprodukt.
a) Stellen Sie die Bedarfsmatrix auf.
b) Bestimmen Sie den Gesamtbedarf an T1, T2, T3 für die Produktion von 100 E1, 50 E2, 40 E3
3. Ein Betrieb arbeitet in zwei Produktionsstufen. Er stellt in der ersten Produktionsstufe aus drei Rohstoffen R1, R2, R3 drei Zwischenerzeugnisse Z1, Z2, Z3 her. Diese Zwischenerzeugnisse werden in der zweiten Produktionsstufe zu zwei Enderzeugnissen E1, E2 weiterverarbeitet. Das folgende Diagramm zeigt den jeweiligen Materialbedarf. Dabei geben die Zahlen an den Pfeilen an, wie viele Einheiten jeweils für ein neues Erzeugnis verbraucht werden.
a) Stellen Sie den Materialverbrauch für jede Produktionsstufe als Matrix dar.
b) Berechnen Sie, wie viele Rohstoffeinheiten jeweils für die Herstellung einer Mengeneinheit E1 bzw. einer Mengeneinheit E2 benötigt werden.