2. Multiplikation von Matrizen

2.1 Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor

Eine Firma A bestellt folgende Baukästen: 1 Basis, 1 Ausbau 1, 5 Ausbau 2, 8 Luxus. Wie viele Bausteine der einzelnen Typen muss die Produktionsfirma dafür herstellen?

Die dazu nötige Rechnung ist einfach: die Bestellmengen der einzelnen Baukästen sind jeweils mit der zu dem Baukasten gehörigen Anzahl an Bausteintypen zu multiplizieren.

Unter Verwendung von Matrizen und Vektoren lässt sich die Rechnung kürzer schreiben:
 

Modellmatrix:
Auftragsvektor:
Produktionsvektor:
Produkt:

Ein Element des Produktionsvektors ergibt sich also, indem die Elemente der entsprechenden Zeile der Modellmatrix mit den Elementen des Bestellvektors multipliziert und die einzelnen Produkte addiert werden. Diese Rechenoperation wird als Skalarprodukt des Zeilenvektors der Matrix mit dem Spaltenvektor bezeichnet.

Definition: Ist  und  ein n-dimensionaler Spaltenvektor, dann kann das Produkt  gebildet werden. Der Produktvektor  ist ein n-dimensionaler Spaltenvektor. Jedes Element ci des Produktvektors  ergibt sich aus dem Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors der Matrix  mit dem Spaltenvektor :

Übungen

Berechnen Sie die folgenden Produkte.

2.2 Multiplikation zweier Matrizen

Sollen wie oben die Berechnungen für alle 6 Firmen durchgeführt werden, so könnte eine ähnliche Rechnung fünfmal wiederholt werden. Die Rechnung lässt sich aber auch in einem Schritt zusammenfassen:

Hier wurden die Bestellungen der einzelnen Firmen als Spaltenvektoren geschrieben und zu einer Auftragsmatrix zusammengefasst. Jede Spalte dieser Auftragsmatrix wurde wie ein Vektor mit der Modellmatrix multipliziert. Die Spaltenvektoren der Ergebnisse dieser Multiplikationen wurden wieder zu einer Matrix zusammengefasst. Insgesamt wurde also die Modellmatrix mit der Auftragsmatrix verknüpft, und das Ergebnis ist die Produktionsmatrix.
 

Definition: Ist  und , dann kann das Produkt  gebildet werden. Die Produktmatrix . Jedes Element ci k der Produktmatrix C ergibt sich aus dem Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors der Matrix A mit dem k-ten Spaltenvektorder Matrix B: .

Zu beachten ist also: Man kann zu zwei Matrizen A und B nur dann das Produkt A^.B bilden, wenn die Anzahl der Spalten des ersten Faktors A mit der Anzahl der Zeilen des zweiten Faktors B übereinstimmt.

Übungen

1. Berechnen Sie das Matrizenprodukt A^.B der Matrizen.
Prüfen Sie, ob auch das Produkt B^.A gebildet werden kann. Wenn ja: berechnen Sie auch B^.A und vergleichen Sie mit dem Produkt A^.B.

2. Prüfen Sie, ob der angegebene Matrizenterm sich bilden lässt.
Wenn ja: berechnen Sie das Produkt.

3. a) Berechnen Sie das Matrizenprodukt . Was fällt auf?

b) Berechnen Sie das Matrizenprodukt . Was fällt auf?

4. Gegeben ist die quadratische Matrix . Berechnen Sie

5. Die Firma „Quadrupedia“ stellt Ergänzungsfutter in Tablettenform für Tiere her, das Mangelerscheinungen vorbeugen soll. Das Produktangebot ist differenziert nach Hunden, Katzen und Mäusen. Die Wirkstoffe A, B, C und D sind in den drei Sorten in unterschiedlichen Mengen kombiniert und müssen zu den angegebenen Preisen bezogen werden.
 

Berechnen Sie die Stückkosten des Herstellers für jedes Produkt.

6. a) Geben Sie zwei  an, die jeweils von der Nullmatrix  verschieden sind und für die gilt A^.B = 0.

b) Geben Sie eine von der Nullmatrix verschiedene  an, für die gilt A^.A = 0.

2.3 Rechengesetze für die Multiplikation von Matrizen

(1) Assoziativgesetz:

a) 

b) 

(2) Kommutativgesetz:

gilt nicht. Im Allgemeinen ist .

(3) neutrales Element:

Bei der Multiplikation reeller Zahlen ist die 1 das sog. neutrale Element:.
Bei der Multiplikation von Matrizen sind dies die Einheitsmatrizen. Eine Einheitsmatrix ist eine quadratische 

Für jede  und für jede  gilt:

(4) inverses Element:

Bei der Multiplikation reeller Zahlen gibt es zu jeder Zahl  ein inverses Element: .

Bei der Multiplikation von Matrizen kann es höchstens für quadratische Matrizen inverse Matrizen geben (warum?). Zwei quadratische  heißen invers zueinander, wenn gilt . Für die zu einer Matrix A inverse Matrix schreibt man auch A^–1:

(5) Distributivgesetze:

Falls sich die Terme überhaupt bilden lassen gilt:

Übungen

1. Bestätigen Sie für die folgenden 3 Matrizen das Assoziativgesetz .

2. Berechnen Sie A^.B und B^.A und vergleichen Sie.

3. Zeigen Sie, dass die Matrizen A und B zueinander invers sind.

4. Es ist . Bestimmen Sie alle Matrizen B mit A^.B = B^.A. Setzen Sie dazu  und bestimmen Sie die Elemente von B aus der Gleichung A^.B = B^.A.

5. Es ist . Bestimmen Sie B so, dass A und B invers zueinander sind. Setzen Sie dazu  und bestimmen Sie die Elemente von B aus der Gleichung A^.B = E₂.

6. Es ist . Zeigen Sie: Wenn es zu A eine inverse Matrix A^–1 gibt, dann ist .