3. Die allgemeine Sinusfunktion

In Anwendungen treten meistens allgemeine Sinusfunktionen auf, deren Graphen durch Veränderungen des Graphen von sin(x) entstehen:

Beispiel:

Im folgenden interaktiven Java- Applet können Sie entsprechend zum Beispiel verschiedene Werte für die Parameter a, b, c und d einstellen und die Auswirkungen untersuchen.

[Allgemeine Sinusfunktion]

Der Vergleich von und zeigt:

• a bewirkt

• eine Dehnung in y-Richtung, wenn |a| > 1 gilt
• eine Stauchung in y-Richtung, wenn 0 < |a| < 1 gilt
• einer zusätzlichen Spiegelung an der x-Achse, wenn a < 0 ist.

• b bewirkt

• eine Stauchung in x-Richtung, wenn b > 1 gilt
• eine Dehnung in x-Richtung, wenn 0 < b < 1 gilt

• c bewirkt

• eine Verschiebung in x-Richtung nach rechts, wenn c > 0 gilt
• eine Verschiebung in x-Richtung nach links, wenn c < 0 gilt

• d bewirkt

• eine Verschiebung in y-Richtung nach oben, wenn d > 0 gilt
• eine Verschiebung in y-Richtung nach unten, wenn d < 0 gilt

Die Sinusfunktion hat die Periode , das bedeutet, zwischen x = 0 und nimmt die Sinusfunktion alle Werte ihrer Wertemenge an. Der Abbildung ist zu entnehmen, dass die Funktion offensichtlich die Periode besitzt. Ohne Bezug auf den Graphen nehmen zu müssen, lässt sich dies auch so begründen:

Das Argument von g(x) = sin(2 x) muss die Werte von 0 bis durchlaufen, dann hat g alle Werte der Wertemenge [-1; 1] einmal angenommen, d.h. es ist eine Periode von g durchlaufen worden. Es muss also gelten:

Die Funktion g mit g(x) = sin(2 x) besitzt also die Periode .

Entsprechend werden verglichen: und .

Das Argument von muss die Werte von 0 bis durchlaufen, dann hat h alle Werte der Wertemenge [-1; 1] einmal angenommen, d.h. es ist eine Periode von h durchlaufen worden. Es muss also gelten:

Die Funktion h mit besitzt also die Periode .

Allgemein: In muss gelten:

Die Periode ist also . Bei gegebenem Parameter b kann damit die Periodenlänge L berechnet werden. Ist umgekehrt die Periodenlänge gegeben (etwa aus einem gegebenen Graphen einer allgemeinen Sinusfunktion abgelesen), dann lässt sich der Parameter b bestimmen: .

Angemerkt sei noch, dass alle genannten Zusammenhänge ebenso für die allgemeine Kosinusfunktion gelten. Bei der allgemeinen Tangensfunktion ist jedoch zu bedenken, dass die Periode von tan(x) nur ist; daher ist der Zusammenhang von Parameter b und Periodenlänge L : .

Übungen

1. Wo liegen die Nullstellen der trigonometrischen Funktionen sin, cos und tan?

2. Bestimmen Sie die Nullstellen und Perioden von

3. Die Abbildung zeigt den Graphen einer allgemeinen Sinusfunktion .

Bestimmen Sie die Werte der Parmeter a, b, c und d.

4. Unter der Globalstrahlung G versteht man die aus allen Raumrichtungen ankommende direkte und indirekte Sonnenstrahlung. Für Hamburg haben langjährige Messungen folgende Mittelwerte ergeben.

Für die Berechnung von Anlagen, die Solarenergie in elektrische Energie umwandeln, wird eine Funktion benötigt, welche diesen Verlauf (näherungsweise) beschreibt.

a) Stellen Sie die Messpunkte in einem Diagramm dar, wobei der Monat Januar mit x = 0, der Februar mit x = 1, ... der Dezember mit x = 11 und für eine volle Periode noch einmal der Januar mit x = 12 bezeichnet wird.

b) Es scheint im wesentlichen eine allgemeine Sinusfunktion vorzuliegen. Bestimmen Sie deren Parameter a, b, c und d.

5. Bestimmen Sie zu f jeweils die Periode L, die erste Ableitung f ' sowie eine Stammfunktion F.