Integrationsverfahren

7. Integrationsverfahren

7.1 Verkettung mit einer linearen Funktion

1. Im Integral

ist der Integrand f eine verkettete Funktion. Die äußere Funktion ist die quadratische Funktion

die innere Funktion ist die lineare Funktion

Bildet man versuchsweise die Funktion

so ist nach der Kettenregel

Dies ist keine Stammfunktion von f, da F '(x) nicht gleich f (x) ist. Es „stört“ die innere Ableitung der linearen Funktion g. Dadurch ist aber leicht zu erkennen, wie man zu einer Stammfunktion von f kommt: F(x) wird durch die Ableitung g'(x) der inneren Funktion g dividiert:

Nun ist

und damit ist eine Stammfunktion von f gefunden. Für das Integral ergibt sich somit:

2. Im folgenden Beispiel ist im Integranden die e-Funktion mit einer linearen Funktion verkettet.

Bildet man hier

so ergibt sich als Ableitung

Daraus ist wieder abzulesen, dass nach Division von F(x) durch die Ableitung der inneren Funktion eine Stammfunktion von f erhalten wird:

Für das Integral folgt nun:

3. Allgemein lässt sich diese Methode so zusammenfassen:

Zu berechnen sei

wobei eine auf dem Intervall [a; b] stetige Funktion f mit der linearen Funktion verkettet ist.

Wenn F(x) eine Stammfunktion von f (x) ist, dann ist

eine Stammfunktion von :

Die Integrationsregel lautet somit:

Man bezeichnet diese Integrationsmethode auch als lineare Substitution.

Übungen

Berechnen Sie die folgenden Integrale durch lineare Substitution.

7.2 Partielle Integration (Produktintegration)

Für eine Funktion f mit (u und v diferenzierbar) ergibt sich die Ableitung aus der Produktregel der Differentialrechnung:

Integration führt auf

Umgestellt ergibt sich eine Integrationsregel:

Partielle Integration (Produktintegration):

Sind u und v Funktionen,. die auf einem Intervall [a ; b] differenzierbar sind, und sind u' und v' stetig auf [a ; b], dann gilt:

Beispiel 1: Zu berechnen ist

1. Ansatz:

Es folgt:

2. Ansatz:

Es folgt:

Dieser Ansatz führt nicht zur Lösung der Aufgabe, macht aber deutlich, worauf es bei der partiellen Integration ankommt: Die Faktoren u und v' in sind so zu wählen, dass das nach Anwenden der Regel für die partielle Integration verbleibende Integral einfacher wird als das zu bestimmende Integral.

Beispiel 2: Zu berechnen ist

Ansatz:

Es folgt: (1)

Das Restintegral wird wieder partiell integriert:

Es folgt: (2)

Einsetzen von (2) in (1) ergibt:

Addition des Integrals auf beiden Seiten:

Für das gesuchte Integral folgt daraus:

Beispiel 3: Zu berechnen ist

Hier wird zunächst ein Faktor 1 im Integranden eingefügt:

Ansatz:

Es folgt:

Übungen

1. Berechnen Sie die folgenden Integrale.

2. Ein sinusförmiger Wechselstrom wird durch die Gleichung beschrieben.
Dabei ist der Scheitelwert, die Kreisfrequenz und T die Periodendauer.
Unter dem Effektivwert I_eff eines Wechselstroms versteht man den Wert eines Gleichstroms, der in einem ohmschen Widerstand R die gleiche mittlere Leistung umsetzt wie der Wechselstrom. Der Effektivwert ergibt sich aus

Berechnen Sie den Effektivwert eines sinusförmigen Wechselstroms.

7.3 Integration durch Substitution

Als Hilfsmittel soll zunächst der Begriff des Differentials bereit gestellt werden.

Die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x wird bekanntlich in zwei Schritten bestimmt:

1. Es wird der Differenzenquotient . Geometrisch ist dieser als Steigung der Sekante durch zwei Punkte des Graphen von f zu deuten:

2. Es wird der Grenzwert des Differenzenquotienten gebildet. Wenn der Grenzwert existiert, wird er als Ableitung der Funktion f an der Stelle x bezeichnet.Die geometrische Bedeutung dieser Ableitung ist die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f an der Stelle x.

Häufig wird eine andere Schreibweise verwendet:

Dabei werden dy (bzw. df) und dx als Differentiale bezeichnet. Die Ableitung wird daher auch Differentialquotient genannt. Die geometrische Bedeutung der Differentiale ist der folgenden Abbildung zu entnehmen: dy ist der Zuwachs der Tangente, wenn x um dx wächst.

Die im Abschnitt 7.1 dargestellte Integration durch lineare Substitution

wird durch Multiplikation mit p umgeformt:

Zur Abkürzung wird geschrieben . Dann gilt und obige Gleichung geht über in

Diese Beziehung gilt auch dann, wenn g keine lineare Funktion ist. Dies lässt sich mit der Kettenregel der Differentialrechnung zeigen.

Vorausgesetzt wird: f ist eine stetige Funktion und g eine differenzierbare Funktion mit stetiger Ableitung g'. Dann ist die Funktion stetig und das Integral existiert. Weiter sei F eine Stammfunktion von f. Für die Verkettung ergibt die Kettenregel:

Integriert:

In der praktischen Anwendung dieses Zusammenhangs wird wie folgt vorgegangen:

Es ist zu berechnen:
Substitution (Ersetzung):
Umrechnung der Grenzen:
Integration:

Beispiel 1: Zu berechnen ist

Substitution:

Grenzen:

Integration:

Der letzte Schritt zeigt, dass auf das Umrechnen der Grenzen verzichtet werden kann, wenn die Substitution bei der Auswertung rückgängig gemacht wird.

Beispiel 2: Zu berechnen ist