Anwendungen des Integrals

8. Anwendungen

8.1 Mittelwerte von Funktionen

Der (arithmetische) Mittelwert von n gegebenen Zahlen x₁, x₂, ..., x_n ist bekanntlich

Diese Begriffsbildung lässt sich auf die Funktionswert f(x) einer auf einem Intervall [a; b] stetigen Funktion f übertragen:

Das Intervall [a; b] wird in n Teilintervalle der Länge geteilt.
In jedem Teilintervall wird eine Stelle x_i und der zugehörige Funktionswert f (x_i) gewählt.
Damit wird der (arithmetische) Mittelwert gebildet: .
Für gilt und .

Definition: Für eine auf einem Intervall [a; b] stetige Funktion f heißt

der Mittelwert der Funktionswerte von f auf [a; b].

Dieser Mittelwert der Funktionswerte ist selbst auch ein Funktionswert von f, wie der folgende Satz verdeutlicht:

Mittelwertsatz der Integralrechnung: Ist f eine auf dem Intervall [a; b] stetige Funktion, dann gibt es ein , so dass gilt:

Zu beachten ist, dass c im allgemeinen nicht (a + b)/2 ist.

Wenn f im Intervall [a; b] nur positive Werte
f (x) > 0 annimmt, dann lässt sich die Aussage des Mittelwertsatzes der Integralrechnung geometrisch deuten: Die Fläche unter dem Graphen von f im Intervall [a; b] hat denselben Inhalt wie das Rechteck mit den Seiten b - a und f (c).

Ergänzend sei angemerkt, dass es auch für die Differentialrechnung einen Mittelwertsatz gibt:

Mittelwertsatz der Differentialrechnung: Ist f eine im geschlossenen Intervall [a; b] stetige und im offenen Intervall ]a; b[ differenzierbare Funktion, dann gibt es (mindestens) eine Stelle c mit a < c < b, so dass gilt:

Geometrische Deutung: Der Graph von f nimmt in (mindestens) einem Punkt die "mittlere Steigung" an, die durch die Sekantensteigung gegeben ist.

Beispiel:

Integral:

Mittelwert der Funktionswerte:

Stelle c, für die gilt :

Ableitung:

Sekantensteigung:

Stelle c, für die gilt :

8.2 Volumen eines Rotationskörpers

Gegeben sei eine auf dem Intervall [a;b] stetige Funktion. Der Graph von f schließt mit der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen x = a und x = b eine Fläche ein. Rotiert diese Fläche um die x-Achse, entsteht ein Rotationskörper.

Das Volumen eines solchen Rotationskörpers lässt sich ähnlich berechnen wie die Fläche unter dem Graphen einer Funktion. Dazu wird das Intervall [a; b] wieder in n gleiche Teile der Breite eingeteilt. Zu jedem Teilintervall gibt es einen Zylinder, der den Körper von innen, und einen Zylinder, der den Körper von außen berührt. Weiter wird in jedem Teilintervall ein x_i gewählt, so dass f (x_i) zwischen den Radien des inneren und des äußeren Zylinders liegt.

Damit ergibt sich für das Volumen des Rotationskörpers die Zerlegungssumme

Im Grenzwert strebt die Summe V_n gegen das Integral .

Satz: Ist die Funktion f auf dem Intervall [a; b] stetig, so entsteht bei der Rotation der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse über [a; b] ein Körper mit dem Volumen

Übungen

1. Der Graph der Funktion f mit schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der bei Drehung dieser Fläche um die x- Achse entsteht.

2. a) Wenn ein Halbkreis mit Radius r und Mittelpunkt M(0|0) um die x-Achse rotiert, entsteht eine Kugel mit Radius r. Leiten Sie daraus die Volumenformel für die Kugel her.

b) Bestimmen Sie das Volumen eines Kugelabschnitts mit der Höhe h und Kugelradius r.

3. Für das Volumen eines Kegels mit Grundkreisradius r und Höhe h gilt . Leiten Sie diese Formel her, indem Sie den Graphen einer geeigneten Funktion um die x-Achse rotieren lassen.

4. a) Begründen Sie: Der Graph von ist ein Ast einer um 90° gedrehten Parabel.
Rotiert der Graph um die x-Achse, entsteht daher ein Rotationsparaboloid.

b) Der lichte Raum eines Kessels hat die Form eines Rotationsparaboloides. Der größte Durchmesser ist d, die Höhe h. Zeigen Sie: Das Volumen des Rotationsparaboloides ist .

c) Die Maße des Kessels in b) seien d = 80 cm und h 60 cm. Berechnen Sie das Volumen in dm³. Bei welcher Höhe ist der Kessel halb gefüllt?

5. Ein Fass hat die Höhe h = 1,2 m und die Radien r = 0,80 m und R = 1,0 m. Bestimmen Sie sein Volumen. Wählen Sie dazu ein geeignetes Koordinatensystem und bestimmen Sie eine quadratische Funktion f, über deren Graph Sie das Fass als Rotationskörper erhalten.
.

8.3 Bogenlänge

Es soll die Länge eines Graphen einer Funktion f über einem Intervall [a; b] ermittelt werden. Vorausgesetzt wird: f ist im Intervall [a; b] differenzierbar und die Ableitung f ' ist stetig.

Zunächst wird eine Teilung des Intervalls [a; b] in n gleich lange Teilintervalle
[x_i; x_i_{+ 1}] vorgenommen.
Über jedem Teilintervall wird die zum Graphen von f gehörige Sehne s_i gezeichnet. Auf diese Weise wird dem Graphen von f zwischen a und b ein Sehnenzug einbeschrieben.

Für die Länge s_i der Sehne über dem Teilintervall [x_i; x_i_{+ 1}] gilt

Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es ein , für das gilt . Für die Länge der Sehne über dem Intervall [x_i; x_i_{+ 1}] gilt daher:

Die Länge des Sehnenzuges ergibt sich damit zu

ist für jedes eine Riemann-Summe der Funktion . Da f nach Voraussetzung auf [a ; b] differenzierbar und ihre Ableitung dort stetig ist, ist auch die Funktion stetig. Daher existiert der Grenzwert der Summen und ist gleich dem Integral.

Damit kann die Bogenlänge des Graphen einer Funktion definiert werden:

Ist f eine auf dem Intervall [a ; b] differenzierbare Funktion, deren Ableitung dort stetig ist, so besitzt der Graph von f zwischen x = a und x = b die Bogenlänge

Anzumerken ist, dass dieses Integral nur in einfachen Fällen mit einer Stammfunktion gelöst werden kann. Eine numerische Lösung ist unter den genannten Voraussetzungen jedoch stets möglich.